Технічні підрахунки, приклади та приклади



The методи підрахунку є ряд методів ймовірностей для підрахунку можливої ​​кількості аранжувань в межах набору або декількох наборів об'єктів. Вони використовуються, коли облікові записи вручну ускладнюються через велику кількість об'єктів та / або змінних.

Наприклад, рішення цієї проблеми дуже просте: уявіть, що ваш бос просить вас порахувати останні продукти, які прибули в останню годину. У цьому випадку ви можете перейти та порахувати продукти по одному.

Однак уявіть, що проблема полягає в наступному: ваш бос просить вас підрахувати, скільки груп з 5 продуктів одного типу можна сформувати з тими, хто прибув в останню годину. У цьому випадку розрахунок ускладнюється. Для цього типу ситуацій використовуються так звані методи підрахунку.  

Ці методи кілька, але найважливіші поділяються на два основних принципу, які є мультиплікативними і адитивними; перестановки та комбінації.

Індекс

  • 1 мультиплікативний принцип
    • 1.1 Програми
    • 1.2 Приклад
  • 2 Принцип додавання 
    • 2.1 Програми
    • 2.2 Приклад
  • 3 Перестановки
    • 3.1 Програми
    • 3.2 Приклад
  • 4 комбінації
    • 4.1 Програми
    • 4.2 Приклад
  • 5 Посилання 

Мультиплікативний принцип

Програми

Мультиплікативний принцип, разом з добавкою, є базовими для розуміння роботи методів підрахунку. У випадку мультиплікативної, вона складається з наступного:

Уявіть активність, яка передбачає певну кількість етапів (загальна кількість позначена як "r"), де перший етап може бути виконаний з N1 форм, другий етап N2 і етап "r" Nr форм. У цьому випадку активність може бути виконана з числа форм, що випливають з цієї операції: N1 x N2 x ... .x Nr форм

Ось чому цей принцип називається мультиплікативним і означає, що кожен з кроків, необхідних для здійснення діяльності, повинен виконуватися один за одним. 

Приклад

Уявімо собі людину, яка хоче побудувати школу. Для цього необхідно врахувати, що основу будівлі можна побудувати двома різними способами, цементним або бетонним. Що стосується стін, то вони можуть бути виготовлені з соку, цементу або цегли.

Що стосується даху, він може бути виготовлений з цементу або оцинкованого листа. Нарешті, остаточне малювання можна зробити лише одним способом. Питання, яке виникає, наступне: Скільки шляхів має побудувати школа??

По-перше, розглянемо кількість сходинок, якими будуть база, стіни, дах і картина. Всього 4 кроки, тому r = 4.

Нижче наведено список N:

N1 = способи побудови бази = 2

N2 = способи побудови стін = 3

N3 = способи зробити дах = 2

N4 = способи зробити фарбу = 1

Таким чином, кількість можливих форм буде розрахована за формулою, описаною вище:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 способів завершення школи.

Адитивний принцип

Програми

Цей принцип є дуже простим і полягає в тому, що у випадку існування декількох альтернатив для виконання однієї і тієї ж діяльності можливі шляхи складаються з суми різних можливих способів зробити всі альтернативи.

Іншими словами, якщо ми хочемо виконати діяльність з трьома альтернативами, де перша альтернатива може бути виконана у формах М, другий у N формах і останній у формах W, то діяльність може бути складена з: M + N + ... + W форм.

Приклад

Уявіть собі, що цей час людина, яка хоче купити тенісну ракетку. Для цього у неї є три марки: Wilson, Babolat або Head.

Коли він їде до магазину, він бачить, що ракетку Wilson можна придбати з ручками двох різних розмірів, L2 або L3 у чотирьох різних моделях і може бути нанизана або без нанизування.

Ракетка Babolat, з іншого боку, має три ручки (L1, L2 і L3), є дві різні моделі, вона також може бути нанизана або без нанизування.

Ракетка Head, з іншого боку, тільки з однією ручкою, L2, у двох різних моделях і тільки без нанизу. Питання в тому: скільки способів ця людина має купувати свій ракет??

M = Кількість способів вибору ракетки Вілсона

N = кількість способів вибору ракетки Babolat

W = Кількість способів вибору головоломки

Ми робимо принцип множника:

M = 2 x 4 x 2 = 16 форм

N = 3 x 2 x 2 = 12 форм

W = 1 x 2 x 1 = 2 форми

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 способів вибору ракетки.

Щоб дізнатися, коли використовувати мультиплікативний принцип і добавку, потрібно просто подивитися на те, чи має активність ряд кроків, які необхідно виконати, і якщо є кілька альтернатив, то адитив.

Пермутації

Програми

Щоб зрозуміти, що таке перестановка, важливо пояснити, що таке комбінація, щоб диференціювати їх і знати, коли їх використовувати..

Комбінація - це розташування елементів, в яких ми не зацікавлені в положенні, яке кожна з них займає.

Перестановка, з іншого боку, була б розташуванням елементів, в яких ми зацікавлені в положенні, яке кожна з них займає.

Приведемо приклад, щоб краще зрозуміти різницю.

Приклад

Уявіть собі клас з 35 студентами і з наступними ситуаціями:

  1. Вчитель хоче, щоб три його учнів допомагали йому тримати клас чистим чи доставляти матеріали іншим учням, коли він цього потребує.
  2. Вчитель хоче призначити делегатів класу (президент, помічник і фінансист).

Рішенням буде наступне:

  1. Уявіть, що голосуючи Хуан, Марія і Лусіа обирають клас чи доставляють матеріали. Очевидно, можна було б сформувати інші групи з трьох осіб серед 35 можливих студентів.

Ми повинні задатися питанням: чи важливе значення має порядок або позиція, яку кожен з студентів займає під час їх відбору??

Якщо ми думаємо про це, ми бачимо, що це дійсно не важливо, оскільки група буде подбати про обидві завдання однаково. У цьому випадку це комбінація, оскільки нас не цікавить положення елементів.

  1. А тепер уявіть, що Джона обрано президентом, Марія - помічницею, а Люсія - фінансовою.

У цьому випадку, чи буде цей порядок важливим? Відповідь «так», тому що якщо ми змінюємо елементи, результат змінюється. Тобто, якщо замість того, щоб поставити Хуана на посаду президента, ми ставимо його на посаду помічника, а Марія як на президента - остаточний результат зміниться. У цьому випадку це перестановка.

Як тільки різниця зрозуміла, ми отримаємо формули перестановок і комбінацій. Однак спочатку треба визначити термін "n!" (В факторіальному), оскільки він буде використовуватися в різних формулах.

n! = до твору від 1 до n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Використовуючи його з реальними номерами:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3 628 800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Формула перестановок буде такою:

nPr = n! / (n-r)!

З його допомогою ми можемо з'ясувати, де важливий порядок, і де n елементів різні.

Комбінації

Програми

Як ми вже прокоментували раніше, комбінації - це механізми, де ми не дбаємо про положення елементів.

Його формула така:

nCr = n! / (n-r)! r!

Приклад

Якщо є 14 студентів, які хочуть добровільно чистити аудиторію, скільки чистячих груп може складати кожна група по 5 чоловік??

Отже, рішенням буде наступне:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 груп

Список літератури

  1. Джеффрі, R.C., Імовірність і мистецтво судження, Cambridge University Press. (1992).
  2. Вільям Феллер, Введення в теорію ймовірностей та її застосування", (Том 1), 3-е Ед, (1968), Wiley
  3. Finetti, Bruno de (1970). "Логічні основи та вимірювання суб'єктивної ймовірності". Психологічний акт.
  4. Хогг, Роберт В.; Крейг, Аллен; Маккін, Джозеф В. (2004). Вступ до математичної статистики (6-е изд.). Верхня річка сідла: Пірсон.
  5. Франклін, Дж. (2001) Наука про гіпотезу: докази і ймовірність до Паскаля,Університетська преса Джонса Хопкінса.