3 Системи лінійних рівнянь і способи їх вирішення



The лінійні рівняння вони є поліноміальними рівняннями з одним або кількома невідомими. У цьому випадку невідомі не піднімаються до повноважень, і вони не помножуються між собою (в даному випадку говорять, що рівняння має ступінь 1 або першу ступінь).

Рівняння - це математичне рівність, де є один або більше невідомих елементів, які ми назвемо невідомими або невідомими, якщо їх більше, ніж один. Для вирішення цього рівняння необхідно з'ясувати значення невідомих.

Лінійне рівняння має таку структуру:

a0· 1 + a1· X1+ a2· X2+... + an· Xn= b

Де0, a1, a2,..., an є дійсними числами, з яких ми знаємо їх значення і називаються коефіцієнтами, b також є відомим дійсним числом, яке називається незалежним терміном. І нарешті, це X1, X2,..., Xn які є відомими як невідомі. Це змінні, значення яких невідомі.

Система лінійних рівнянь є сукупністю лінійних рівнянь, де значення невідомих однакові в кожному рівнянні.

Логічно, спосіб вирішення системи лінійних рівнянь призначає значення невідомим, так що рівність може бути перевірена. Тобто, невідомі повинні бути обчислені таким чином, що всі рівняння системи виконуються одночасно. Ми представляємо систему лінійних рівнянь наступним чином

a0· 1 + a1· X1 + a2· X2 +... + an· Xn = an + 1

b0· 1 + b1· X1 + b2· X2 +... + bn· Xn = bn + 1

c0· 1 + c1· X1 + c2· X2 +... + cn· Xn = cn + 1

... .

d0· 1 + d1· X1 + d2· X2 +... + dn· Xn = dn + 1

 де a0, a1,..., an,b0,b1,..., bn ,c0 ,c1,..., cn і т.д. нас реальні числа і невідомі для вирішення є X0,..., Xn ,Xn + 1.

Кожне лінійне рівняння являє собою лінію і, отже, система рівнянь N лінійних рівнянь представляє N прямий малюнок у просторі.

Залежно від кількості невідомих, які має кожне лінійне рівняння, лінія, що представляє згадане рівняння, буде представлена ​​в іншому вимірі, тобто в рівнянні з двома невідомими (наприклад, 2 · X).1 + X2 = 0) являє собою лінію в двовимірному просторі, рівняння з трьома невідомими (наприклад 2 · X1 + X2 - 5 · X3 = 10) були б представлені в тривимірному просторі і так далі.

При розв'язанні системи рівнянь значення X0,..., Xn ,Xn + 1 трапляються точки розрізу між лініями.

Вирішуючи систему рівнянь, можна дійти до різних висновків. Залежно від виду отриманого результату можна виділити 3 типи систем лінійних рівнянь:

1- Невизначена сумісність

Хоча це може звучати як жарт, можливо, що при спробі вирішити систему рівнянь ми прийдемо до очевидності стилю 0 = 0..

Цей тип ситуації виникає, коли існують нескінченні розв'язки для системи рівнянь, і це відбувається, коли виходить, що в нашій системі рівнянь рівняння представляють одну і ту ж лінію. Це можна побачити графічно:

Як систему рівнянь приймаємо:

Маючи 2 рівняння з 2 невідомими для розв'язання, ми можемо представляти лінії в двовимірній площині

Оскільки ми можемо бачити рядки з однаковими, то всі точки першого рівняння збігаються з точками другого рівняння, тому вона має стільки точок розрізу, скільки точок у лінії, тобто нескінченності.

2- Несумісний

При читанні імені ми можемо уявити, що наша наступна система рівнянь не матиме рішення.

Якщо спробувати вирішити, наприклад, цю систему рівнянь

Графічно це буде:

Якщо помножити всі члени другого рівняння, отримаємо, що X + Y = 1 дорівнює 2 · X + 2 · Y = 2. І якщо цей останній вираз відняти з першого рівняння, то отримаємо

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Або те, що те ж саме

0 = 1

Коли ми знаходимося в цій ситуації, це означає, що лінії, які представлені в системі рівнянь, є паралельними, а це означає, що за визначенням вони ніколи не розрізаються, а точка відсікання відсутня. Коли система представлена ​​таким чином, вона вважається непослідовною незалежною.

3- Визначена підтримка

Нарешті, ми приходимо до випадку, коли наша система рівнянь має єдине рішення, у випадку якого ми маємо лінії, які перетинаються і генерують точку перетину. Давайте розглянемо приклад:

Для її вирішення можна додати два рівняння, щоб отримати

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Якщо ми спростимо, то залишимо

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

З якого ми легко виводимо, що X = 2 і підставляючи або X = 2 в будь-яке з вихідних рівнянь, отримаємо Y = 3.

Візуально це буде:

Методи розв'язання систем лінійних рівнянь

Як ми бачили в попередньому розділі, для систем з 2 невідомими і 2 рівняннями, заснованими на таких простих операціях, як складання, віднімання, множення, ділення і підстановка, їх можна вирішити за лічені хвилини. Але якщо ми спробуємо застосувати цю методологію до систем з більшою кількістю рівнянь і більше невідомих, розрахунки стають втомливими, і ми можемо легко помилятися..

Для спрощення розрахунків існує декілька методів розв'язання, але безсумнівно, найбільш поширеними методами є Правило Крамера і ліквідація Гаусса-Йордану..

Метод Крамера

Для того, щоб пояснити, як цей метод застосовується, необхідно знати, що таке його матриця і знати, як знайти її детермінант, давайте зробимо дужки, щоб визначити ці два поняття..

Перший матриці це не що інше, як набір чисел або алгебраїчних символів, розміщених у горизонтальних і вертикальних лініях і розташованих у вигляді прямокутника. Для нашої теми ми будемо використовувати матрицю як більш спрощений спосіб вираження нашої системи рівнянь.

Давайте розглянемо приклад:

Це буде система лінійних рівнянь

Цю просту систему рівнянь можна підсумувати як операцію двох 2 × 2 матриць, що призводять до матриці 2 × 1..

Перша матриця відповідає всім коефіцієнтам, друга матриця - невідомі для вирішення і матриця, розташована після рівності, ідентифікована незалежними членами рівнянь.

The визначник є операцією, яка застосовується до матриці, результат якої є дійсним числом.

У випадку матриці, яку ми знайшли в нашому попередньому прикладі, її визначальною буде:

Як тільки поняття матриці і детермінант визначені, ми можемо пояснити, з чого складається метод Крамера.

Цим методом ми можемо легко вирішити систему лінійних рівнянь, якщо система не перевищує трьох рівнянь з трьома невідомими, оскільки розрахунок детермінант матриці дуже складно для матриць 4 × 4 або вище. У разі наявності системи з більш ніж трьома лінійними рівняннями рекомендується метод ліквідації Гаусса-Йордану.

Продовжуючи попередній приклад, за допомогою Cramer нам просто доведеться обчислити дві детермінанти і з ним знайдемо значення наших двох невідомих..

Ми маємо нашу систему:

І ми маємо систему, представлену матрицями:

Знайдено значення X:

Просто в розрахунку детермінанта, що знаходиться в знаменнику поділу, ми замінили першу комуну на матрицю незалежних членів. І в знаменнику поділу ми маємо визначник нашої вихідної матриці.

Виконуючи ті ж розрахунки, щоб знайти Y, отримаємо:

Ліквідація Гаусса-Йордану

Ми визначаємо розширена матриця до матриці, що випливає з системи рівнянь, де ми додаємо незалежні члени в кінець матриці.

Метод ліквідації Гаусса-Йордана полягає в тому, щоб за допомогою операцій між рядами матриці перетворити нашу розширену матрицю на набагато простішу матрицю, де у всіх полях є нулі, крім діагоналі, де я повинен отримати деякі. Таким чином:

Де X і Y будуть реальними числами, які відповідають нашим невідомим.

Давайте вирішимо цю систему, усунувши Гаусса-Йордану:

Ми вже встигли отримати нуль у нижній лівій частині нашої матриці, наступний крок - отримати 0 у верхній правій його частині.

Ми досягли 0 у верхньому лівому куті матриці, тепер нам доведеться лише перетворити діагональ на ті, і ми вже вирішили нашу систему Гаусом-Йорданом..

Тому ми приходимо до висновку, що:

Список літератури

  1. vitutor.com.
  2. algebra.us.es.
  3. Системи лінійних рівнянь (без дати). Відновлюється від uco.es.
  4. Системи лінійних рівнянь. Глава 7. (без дати). Отримано з sauce.pntic.mec.es.
  5. Лінійна алгебра та геометрія (2010/2011). Системи лінійних рівнянь. Глава 1. Відділ алгебри. Університет Севільї. Іспанія Відновлено з algebra.us.es.