Правило Сарру в тому, що складається і типи детермінант



The Правило Сарруса він використовується для обчислення результату детермінант 3 × 3. Вони використовуються для вирішення лінійних рівнянь і знають, чи вони сумісні.

Сумісні системи дозволяють легко отримати рішення. Вони також використовуються для визначення, чи є множини векторів лінійно незалежними і утворюють основу векторного простору.

Ці додатки засновані на зворотності матриць. Якщо матриця регулярна, її детермінанта відрізняється від 0. Якщо вона є сингулярною, її визначальною є 0. Детермінанти можуть бути обчислені тільки в квадратних матрицях..

Для обчислення матриць будь-якого порядку можна використовувати теорему Лапласа. Ця теорема дозволяє спростити матриці великих розмірів у сумах малих детермінант, які розкладаємо з основної матриці..

Підтверджує, що визначник матриці дорівнює сумі продуктів кожного рядка або стовпця, визначником його прикладеної матриці.

Це зменшує детермінанти так, що визначник ступеня n стає n детермінантами n-1. Якщо ми застосуємо це правило послідовно, можна отримати детермінанти розмірності 2 (2 × 2) або 3 (3 × 3), де набагато простіше розрахувати.

Правило Сарруса

П'єр Фредерік Саррус був французьким математиком 19 століття. Більшість його математичних трактатів базуються на методах розв'язання рівнянь і розрахунку варіацій в чисельних рівняннях.

В одному зі своїх трактатів він вирішив одну з найскладніших загадок механіки. Щоб вирішити проблеми зчленованих частин, Саррус ввів перетворення альтернативних прямолінійних рухів, при рівномірних кругових рухах. Ця нова система відома як механізм Sarrus.

Найбільш відоме дослідження, яке він дав цьому математику, було в якому він ввів новий метод розрахунку детермінант, у статті "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations". 1833 рік. Цей спосіб вирішення лінійних рівнянь, відомий як правило Сарруса.

Правило Сарру дозволяє обчислити детермінант матриці 3 × 3, не використовуючи теорему Лапласа, вводячи набагато простіший і більш інтуїтивний метод. Щоб мати можливість перевірити значення правила Сарруса, візьмемо будь-яку матрицю розмірності 3:

Розрахунок його детермінанта буде зроблений продуктом його основних діагоналей, віднімаючи продукт від зворотних діагоналей. Це буде наступним чином:

Правило Сарруса дозволяє нам отримати набагато простіше бачення при обчисленні діагоналей детермінанта. Це було б спрощено шляхом додавання перших двох стовпців до задньої частини матриці. Таким чином, ви можете чіткіше побачити основні діагоналі, які є оберненими для розрахунку продукту..

Через це зображення можна побачити застосування правила Сарруса, включимо рядки 1 і 2, нижче графічного представлення початкової матриці. Таким чином, основними діагоналями є три діагоналі, які з'являються в першу чергу.

Три зворотні діагоналі, у свою чергу, є тими, які з'являються спочатку в спині.

Таким чином, діагоналі з'являються більш наочним способом, не ускладнюючи дозвіл детермінанта, намагаючись з'ясувати, які елементи матриці належать кожній діагоналі.

Як видно на зображенні, ми вибираємо діагоналі і обчислюємо отриманий продукт кожної функції. Діагоналі, які з'являються у синьому кольорі, складають ті, що складаються. Щоб підсумувати їх, віднімаємо значення діагоналей, які з'являються червоним кольором.

Щоб полегшити стиснення, можна скористатися числовим прикладом замість використання алгебраїчних термінів і під-термінів.

Якщо взяти будь-яку 3 × 3 матрицю, наприклад:

Щоб застосувати правило Sarrus і розв'язати його більш візуально, ми повинні включити рядки 1 і 2, як рядки 4 і 5 відповідно. Важливо тримати рядок 1 на 4-й позиції, а рядок 2 на 5-й позиції. Тому що якщо ми обміняємо їх, правило Сарруса не буде ефективним.

Щоб обчислити визначник, наша матриця буде виглядати так:

Щоб продовжити розрахунок, ми множимо елементи основних діагоналей. Спускаються, які починаються ліворуч, будуть мати позитивний знак; а зворотні діагоналі, які починаються праворуч, носять негативний знак.

У цьому прикладі, сині будуть йти з позитивним знаком, а червоні з негативним знаком. Остаточний розрахунок правила Sarrus буде виглядати так:

Типи детермінант

Детермінант виміру 1

Якщо розмірність матриці дорівнює 1, то матриця має таку форму: A = (a)

Отже, її детермінант буде таким: det (A) = | A | = a

Таким чином, визначник матриці A дорівнює абсолютному значенню матриці A, яка в даному випадку є a.

Визначник розмірності 2

Якщо перейти до матриць розмірності 2, то отримаємо матриці типу:

Де детермінант визначається як:

Роздільна здатність цієї детермінанти ґрунтується на множенні її основної діагоналі, віднімаючи продукт від його зворотної діагоналі.

Як мнемонічне правило, ми можемо використовувати наступну діаграму, щоб запам'ятати її детермінант:

Детермінант виміру 3

Якщо розмірність матриці дорівнює 3, то отримана матриця матиме такий тип:

Визначник цієї матриці буде вирішуватися за допомогою правила Сарру таким чином:

Список літератури

  1. Jenny Olive (1998) Математика: Керівництво за виживання студента. Cambridge University Press.
  2. Річард Дж. Браун (2012) 30-секундна математика: 50 найбільш розширюючих теорії математики. Ivy Press Limited.
  3. Дейв Кіркбі (2004) Maths Connect. Хайнеманн.
  4. Awol Assen (2013) Дослідження обчислення детермінант матриці 3 × 3. Академічне видання Lap Lamp.
  5. Ентоні Ніколаїдс (1994) Детермінанти та матриці. Передача публікації.
  6. Джессі Рассел (2012) Правило Сарруса.
  7. М. Кастелейру Вільяльба (2004) Введення в лінійну алгебру. Редакція ESIC.