Поділитися:
Історичні передумови аналітичної геометрії
The Історичний фон аналітичної геометрії вони повертаються до XVII століття, коли П'єр де Ферма і Рене Декарт визначили свою фундаментальну ідею. Його винахід слідував модернізації алгебри та алгебраїчної позначення Франсуа Віте.
Це поле має свої основи в Стародавній Греції, особливо в роботах Аполлонія і Евкліда, які мали великий вплив у цій галузі математики..
Основна ідея аналітичної геометрії полягає в тому, що зв'язок між двома змінними, так що одна є функцією іншого, визначає криву.
Ця ідея була вперше розроблена П'єром де Ферма. Завдяки цій істотній рамці Ісак Ньютон і Готфрід Лейбніц змогли розробити розрахунок.
Французький філософ Декарт також відкрив алгебраїчний підхід до геометрії, очевидно, самостійно. Робота Декарта з геометрії з'являється в його знаменитій книзі Виступ методу.
У цій книзі показано, що компас і геометричні конструкції прямих країв включають додавання, віднімання, множення і квадратні корені..
Аналітична геометрія являє собою об'єднання двох важливих традицій в математиці: геометрії як вивчення форми, а також арифметики і алгебри, які мають відношення до кількості або чисел. Тому аналітична геометрія є вивченням області геометрії з використанням систем координат.
Історія
Фон аналітичної геометрії
Взаємозв'язок між геометрією та алгеброю розвивався протягом всієї історії математики, хоча геометрія досягла більш раннього ступеня зрілості..
Наприклад, грецький математик Евклід зумів організувати багато результатів у своїй класичній книзі Елементи.
Але саме в древній грецькій мові Аполлоній Перґа пророкував розвиток аналітичної геометрії у своїй книзі Коніки. Він визначив конус як перетин між конусом і площиною.
Використовуючи результати Евкліда в подібних трикутниках і сушіннях кола, він знайшов зв'язок, заданий відстанями від будь-якої точки "Р" конічної до двох перпендикулярних ліній, великої осі конічної і дотичної в кінцевій точці осі. Аполлоній використовував це відношення для виведення фундаментальних властивостей конік.
Подальший розвиток систем координат в математиці з'явився тільки після того, як алгебра зріла завдяки ісламським і індійським математикам.
До тих пір, поки геометрія Ренесансу не була використана для обгрунтування рішень для алгебраїчних задач, але не було багато, що алгебра могла б сприяти геометрії.
Така ситуація зміниться з прийняттям зручної нотації для алгебраїчних відносин і розробки концепції математичної функції, яка тепер стала можливою..
XVI ст
Наприкінці XVI століття французький математик Франсуа Віє ввів першу систематичну алгебраїчну нотацію, використовуючи літери для представлення числових величин, як відомих, так і невідомих..
Він також розробив потужні загальні методи для роботи алгебраїчних виразів і вирішення алгебраїчних рівнянь.
Завдяки цьому математики не повністю залежали від геометричних фігур і геометричної інтуїції для вирішення проблем.
Навіть деякі математики стали відмовлятися від стандартного геометричного способу мислення, згідно з яким лінійні змінні довжин і квадратів відповідають областям, а кубіку відповідають обсягам.
Першим, хто зробив цей крок, були філософ і математик Рене Декарт, а також юрист і математик П'єр де Ферма..
Основа аналітичної геометрії
Декарт і Ферма незалежно заснували аналітичну геометрію протягом 1630-х років, прийнявши алгебру Віє для вивчення геометричного локусу.
Ці математики зрозуміли, що алгебра була інструментом великої сили в геометрії і винайшла те, що сьогодні відоме як аналітична геометрія.
Авансом, який вони зробили, було подолання Viète за допомогою букв для представлення відстаней, які є змінними, а не фіксованими..
Декарт використовував рівняння для вивчення геометрично заданих кривих і висвітлив необхідність розгляду загальних алгебраїчно-графічних кривих поліноміальних рівнянь в градусах "x" і "y"..
Зі свого боку, Ферма підкреслив, що будь-яка зв'язок між координатами "x" і "і" визначає криву.
Використовуючи ці ідеї, він реструктурував заяви Аполлонія про алгебраїчні терміни і відновив деякі з його втрачених творів..
Ферма вказав, що будь-яке квадратичне рівняння в "x" і "y" може бути розміщено в стандартній формі одного з конічних секцій. Незважаючи на це, Ферма ніколи не публікував свою роботу з цього питання.
Завдяки його досягненням, що Архімед міг вирішити тільки з великими труднощами і для окремих випадків, Ферма і Декарт могли вирішити його швидко і для великої кількості кривих (відомих тепер як алгебраїчні криві)..
Але його ідеї отримали загальне визнання завдяки зусиллям інших математиків у другій половині XVII століття.
Математики Франс ван Шуттен, Флоримон де Бон і Йохан де Вітт допомагали розширити роботу Декартів і додали важливий додатковий матеріал.
Вплив
В Англії Джон Уолліс популяризував аналітичну геометрію. Він використовував рівняння для визначення конік і виведення їх властивостей. Хоча він використовував негативні координати вільно, Ісак Ньютон використовував дві косі осі, щоб розділити площину на чотири квадранта.
Ньютон і німецький Готфрід Лейбніц революціонізували математику наприкінці XVII століття, незалежно демонструючи силу розрахунку.
Ньютон продемонстрував важливість аналітичних методів у геометрії та його роль в обчисленні, коли він стверджував, що будь-який куб (або будь-яка алгебраїчна крива третього ступеня) має три або чотири стандартні рівняння для відповідних осей координат. За допомогою самого Ньютона, шотландський математик Джон Стірлінг довів це у 1717 році.
Аналітична геометрія трьох і більше розмірів
Хоча і Декарт, і Ферма запропонували використовувати три координати для вивчення кривих і поверхонь в просторі, тривимірна аналітична геометрія розвивалася повільно до 1730 р..
Математики Ейлер, Герман і Клеро випустили загальні рівняння для циліндрів, конусів і поверхонь обертання.
Наприклад, Ейлер використовував рівняння для перекладу в просторі для перетворення загальної квадратичної поверхні, так що її головні осі збігалися з її координатними осями..
Ейлер, Джозеф-Луї Лагранж і Гаспар Монж зробили аналітичну геометрію незалежною від синтетичної геометрії (не аналітичної).
Список літератури
- Розвиток аналітичної геометрії (2001). Відновлюється від encyclopedia.com
- Історія аналітичної геометрії (2015). Відновлено з maa.org
- Аналіз (математика). Відновлено з britannica.com
- Аналітична геометрія. Відновлено з britannica.com
- Декарт і народження аналітичної геометрії. Відновлено з sciencedirect.com