Поліноміальні рівняння (з розв'язаними вправами)

The поліноміальні рівняння є твердженням, яке піднімає рівність двох виразів або членів, де принаймні один з термінів, що складають кожну сторону рівності, є поліномами P (x). Ці рівняння названі відповідно до ступеня їх змінних.

Взагалі, рівняння є твердженням, яке встановлює рівність двох виразів, де принаймні в одному з них є невідомі величини, які називаються змінними або невідомими. Хоча існує багато типів рівнянь, вони зазвичай поділяються на два типи: алгебраїчний і трансцендентний.

Поліноміальні рівняння містять тільки алгебраїчні вирази, які можуть мати одну або більше невідомих, залучених до рівняння. Відповідно до показника (ступеня) вони можуть бути класифіковані на: перший ступінь (лінійний), другий ступінь (квадратичний), третій ступінь (кубічний), четвертий ступінь (четвертий), більше або дорівнює п'яти і ірраціональним.

Індекс

• 1 Характеристики
• 2 типи
  • 2.1 Перший клас
  • 2.2 Другий ступінь
  • 2.3
  • 2.4 Вища оцінка
• 3 Вправи вирішені
  • 3.1 Перша вправа
  • 3.2 Друга вправа
• 4 Посилання

Особливості

Поліноміальні рівняння є виразами, які формуються рівноправністю двох поліномів; тобто, кінцевими сумами множення між значеннями, які невідомі (змінні) і фіксовані числа (коефіцієнти), де змінні можуть мати показники, а їх значення може бути додатним цілим числом, включаючи нуль.

Експоненти визначають ступінь або тип рівняння. Цей термін виразу, який має найвищий показник значення, буде представляти абсолютний ступінь полінома.

Поліноміальні рівняння відомі також як алгебраїчні рівняння, їх коефіцієнти можуть бути реальними або комплексними числами, а змінні - невідомими числами, представленими літерою, наприклад: "x".

Якщо підставляючи значення для змінної "x" в P (x) результат дорівнює нулю (0), то говориться, що це значення задовольняє рівняння (це рішення), і зазвичай його називають коренем полінома.

Коли розвивається поліноміальне рівняння, потрібно знайти всі корені або рішення.

Типи

Існує декілька типів поліноміальних рівнянь, які диференціюються за кількістю змінних, а також за ступенем їх експоненції..

Таким чином, поліноміальні рівняння, де перший член є поліномом тільки з одним невідомим, враховуючи, що його ступінь може бути будь-яким натуральним числом (n), а другий член нульовим, можна виразити так:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Де:

- a_n, a_n-1 а₀, це реальні коефіцієнти (числа).

- a_n він відрізняється від нуля.

- Показник n додатне ціле число, яке представляє ступінь рівняння.

- x є змінною або невідомою, яку потрібно шукати.

Абсолютний або більший ступінь поліноміального рівняння є експонентом більшої величини серед усіх, що утворюють поліном; таким чином, рівняння класифікуються як:

Перший клас

Поліноміальні рівняння першого ступеня, також відомі як лінійні рівняння, є тими, у яких ступінь (найбільший показник) дорівнює 1, многочлен має вигляд P (x) = 0; і складається з лінійного терміна і незалежного терміна. Він написаний наступним чином:

ax + b = 0.

Де:

- a і b є дійсними числами і a ≠ 0.

- ax є лінійним терміном.

- b - незалежний термін.

Наприклад, рівняння 13x - 18 = 4x.

Для вирішення лінійних рівнянь всі терміни, що містять невідоме x, повинні бути передані в одну сторону рівності, а ті, що не мають, переміщені на іншу сторону, щоб очистити її і отримати рішення:

13x - 18 = 4х

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18. 9

x = 2.

Таким чином, дане рівняння має єдине рішення або корінь, тобто x = 2.

Другий сорт

Поліноміальні рівняння другого ступеня, також відомі як квадратичні рівняння, є тими, у яких ступінь (найбільший показник) дорівнює 2, многочлен має вигляд P (x) = 0 і складається з квадратичного члена , один лінійний і один незалежний. Він виражається наступним чином:

сокиру² + bx + c = 0.

Де:

- a, b і c є дійсними числами і a ≠ 0.

- сокиру² є квадратичним членом, а "a" - коефіцієнт квадратичного терміна.

- bx - лінійний член, а "b" - коефіцієнт лінійного члена.

- c - незалежний термін.

Роздільна здатність

Як правило, рішення цього типу рівнянь задається очищенням x від рівняння, і він залишається таким чином, який називається резольвером:

Там, (б² - 4ac) називається дискримінанта рівняння і це вираз визначає кількість рішень, які рівняння може мати:

- Так (b² - 4ac) = 0, рівняння буде мати єдине рішення, що є подвійним; тобто, ви будете мати два рівні рішення.

- Так (b² - 4ac)> 0, рівняння буде мати два різних реальних рішення.

- Так (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Наприклад, ви маєте рівняння 4x² + 10x - 6 = 0, щоб вирішити його, спочатку визначити терміни a, b і c, а потім замінити його у формулі:

a = 4

b = 10

c = -6.

Є випадки, коли поліноміальні рівняння другого ступеня не мають трьох термінів, і тому вони вирішуються по-різному:

- У випадку, якщо квадратичні рівняння не мають лінійного члена (тобто b = 0), рівняння буде виражено як ax² + c = 0. Для його вирішення очищається x² і коріння квадратних застосовуються в кожному члені, пам'ятаючи, що розглядаються два можливих ознаки, які можуть мати невідомі:

сокиру² + c = 0.

x² = - c. a

Наприклад, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20. 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Коли квадратичне рівняння не має незалежного члена (тобто c = 0), рівняння буде виражено як ax² + bx = 0. Для його вирішення необхідно витягти загальний коефіцієнт невідомого x у першому члені; оскільки рівняння дорівнює нулю, вірно, що принаймні один з факторів буде дорівнює 0:

сокиру² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Таким чином, ви повинні:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Наприклад: у вас є рівняння 5x² + 30x = 0. Перший фактор:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Генеруються два фактори: x та (5x + 30). Вважається, що один з них буде дорівнює нулю, а інше рішення буде надано:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30. 5

x₂ = -6.

Основний ступінь

Більш великі поліноміальні рівняння є такими, що йдуть з третього ступеня і далі, що може бути виражено або розв'язано загальним поліноміальним рівнянням для будь-якого ступеня:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Це використовується тому, що рівняння зі ступенем більше двох є результатом факторизації полінома; тобто виражається як множення поліномів ступеня одного або більшого, але без реальних коренів.

Рішення цього типу рівнянь є прямим, оскільки множення двох факторів буде дорівнює нулю, якщо будь-який з факторів буде нульовим (0); отже, кожне з знайдених поліноміальних рівнянь має бути вирішене, підібравши кожен з його факторів до нуля.

Наприклад, ви маєте рівняння третього ступеня (кубічного) x³ + x² +4x + 4 = 0. Для її вирішення необхідно дотримуватися наступних кроків:

- Умови згруповані:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Кінцівки розбиті, щоб отримати загальний фактор невідомого:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Таким чином отримують два фактори, які повинні бути рівними нулю:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Видно, що фактор (x² + 4) = 0 не буде мати реального рішення, тоді як фактор (x + 1) = 0 так. Тому рішенням є:

(x + 1) = 0

x = -1.

Вирішені вправи

Вирішіть наступні рівняння:

Перша вправа

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

Рішення

У цьому випадку рівняння виражається як множення поліномів; тобто фактор. Для її вирішення кожен фактор повинен дорівнювати нулю:

- 2x² + 5 = 0, не має рішення.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Таким чином, дане рівняння має два розв'язки: x = 3 і x = -1.

Друга вправа

x⁴ - 36 = 0.

Рішення

Було дано поліном, який можна переписати як різницю квадратів, щоб отримати швидше рішення. Таким чином, рівняння залишається:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Щоб знайти рішення рівнянь, обидва фактори дорівнюють нулю:

(x² + 6) = 0, не має рішення.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± .6.

Таким чином, початкове рівняння має два рішення:

x = .6.

x = - .6.

Список літератури

1. Андрес, Т. (2010). Математична олімпіада Tresure. Springer. Нью-Йорк.
2. Ангел А. Р. (2007). Елементарна алгебра Освіта Пірсона,.
3. Baer, ​​R. (2012). Лінійна алгебра та проекційна геометрія. Кур'єрська корпорація.
4. Baldor, A. (1941). Алгебра Гавана: Культура.
5. Castaño, H. F. (2005). Математика перед розрахунком. Університет Медельіна.
6. Крістобал Санчес, М. Р. (2000). Математичний посібник для олімпійської підготовки. Університет Яуме I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Вища алгебра I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Математика 3.