Методи і приклади факторизації

The факторизація є методом, за допомогою якого поліном виражається у вигляді множення факторів, які можуть бути числами, літерами або обома. Для факторизації згруповані фактори, спільні для термінів, і таким чином поліном розкладається на кілька поліномів.

Таким чином, коли коефіцієнти помножуються один на одного, результат є вихідним поліномом. Факторинг є дуже корисним методом, коли ви маєте алгебраїчні вирази, тому що його можна перетворити на множення кількох простих термінів; Наприклад: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Є випадки, коли поліном не може бути врахований, оскільки між його термінами немає спільного фактора; таким чином, ці алгебраїчні вирази діляться тільки між собою і на 1. Наприклад: x + y + z.

У алгебраїчному вираженні загальний фактор є найбільшим загальним дільником термів, які його складають.

Індекс

• 1 Методи факторингу
  • 1.1 Факторинг за загальним фактором
  • 1.2 Приклад 1
  • 1.3 Приклад 2
  • 1.4 Факторинг за групуванням
  • 1.5 Приклад 1
  • 1.6 Факторинг через інспекцію
  • 1.7 Приклад 1
  • 1.8 Приклад 2
  • 1.9 Факторинг з чудовою продукцією
  • 1.10 Приклад 1
  • 1.11 Приклад 2
  • 1.12 Приклад 3
  • 1.13 Факторинг з правилом Руффіні
  • 1.14 Приклад 1
• 2 Посилання

Методи факторингу

Існує кілька методів факторингу, які застосовуються залежно від випадку. Деякі з них такі:

Факторинг за загальним фактором

У цьому методі ідентифікуються ті фактори, які є загальними; тобто ті, які повторюються в термінах виразу. Потім застосовується розподільне властивість, видаляється максимальний загальний дільник і завершується факторизація.

Іншими словами, ідентифікується загальний фактор вираження і кожен термін ділиться між ним; отримані терміни множать на найбільший загальний фактор для вираження факторизації.

Приклад 1

Фактор (b²x) + (b²y).

Рішення

Спочатку існує загальний фактор кожного терміна, який в даному випадку є b², а потім терміни поділяються між загальним фактором наступним чином:

b²x) / b² = x

b²y) / b² = y.

Факторизація виражається, помножуючи загальний фактор на результуючі терміни:

b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Приклад 2

Factorize (2а)²b³) + (3ab²).

Рішення

У цьому випадку ми маємо два фактори, які повторюються в кожному терміні, які є "а" і "б", і які підняті до влади. Щоб вплинути на них, спочатку два терміни розбиваються на їх довгу форму:

2_*a_*a_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Можна спостерігати, що коефіцієнт "a" повторюється тільки один раз у другому члені, і фактор "b" повторюється в ньому двічі; тому в першому члені існує тільки 2, фактор "а" і "б"; тоді як у другому терміні є лише 3.

Таким чином, ми записуємо час, коли "a" і "b" повторюються і помножуються на фактори, що залишилися від кожного терміна, як видно на зображенні:

Факторизація шляхом групування

Оскільки не у всіх випадках явно виражений максимальний загальний дільник полінома, необхідно зробити інші кроки, щоб переписати поліном і, таким чином, фактор.

Один з цих кроків полягає в групуванні членів полінома на кілька груп, а потім використовують метод загального фактора.

Приклад 1

Коефіцієнт ac + bc + ad + bd.

Рішення

Є 4 фактори, де два є загальними: у першому члені це "c", а у другому - "d". Таким чином, два терміни групуються та розділяються:

(ac + bc) + (ad + bd).

Тепер можна застосувати метод загального фактора, розділивши кожен член на його загальний фактор, а потім помноживши цей загальний фактор на результуючі терміни, наприклад:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Тепер ви отримаєте біноміал, який є спільним для обох термінів. Для фактора він множиться на інші фактори; таким чином ви повинні:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Факторизація шляхом перевірки

Цей метод використовується для формування квадратичних поліномів, які також називаються триномами; тобто ті, які структуровані як сокира² ± bx + c, де значення "a" відрізняється від 1. Цей метод також використовується, коли trinomial має вигляд x² ± bx + c і значення "a" = 1.

Приклад 1

Фактор x² + 5x + 6.

Рішення

Ви маєте квадратичний тріном форма x² ± bx + c. Для фактора спочатку необхідно знайти дві цифри, які при множенні дають у результаті значення "c" (тобто 6) і що його сума дорівнює коефіцієнту "b", що дорівнює 5. Ці числа 2 і 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Таким чином, вираз спрощується так:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Кожен термін враховується:

- Для (x² + 2x) витягується загальний термін: x (x + 2)

- Для (3x + 6) = 3 (x + 2)

Таким чином, вираз залишається:

x (x +2) + 3 (x +2).

Оскільки у вас є загальний біном, щоб зменшити вираз, помножте це на терміни надлишку, і ви повинні:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Приклад 2

Фактор 4а² + 12a + 9 = 0.

Рішення

Ви маєте квадратичний тричінку форми ax² ± bx + c і для фактора все це вираження множиться на коефіцієнт x²; в даному випадку 4.

4a² + 12a +9 = 0

4a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² a² + 12a (4) + 36 = 0

Тепер ми повинні знайти дві цифри, які, при множинні разом, дають в результаті значення "c" (яке становить 36) і що при складенні результату утворюється коефіцієнт терміна "a", який дорівнює 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Таким чином, вираз переписується з урахуванням цього² a² = 4a _* 4a. Таким чином, розподільна властивість застосовується для кожного терміну:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Нарешті, вираз ділиться на коефіцієнт²; тобто 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Вираз такий:

4a² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Факторинг з чудовою продукцією

Існують випадки, в яких, для повного факторингу поліномів з попередніми методами, він стає дуже тривалим процесом.

Тому вираз можна розробити за допомогою формул чудових продуктів, і таким чином процес стає простішим. Серед найбільш використовуваних відомих продуктів є:

- Різниця двох квадратів: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Ідеальний квадрат суми: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Ідеальний квадрат різниці: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Різниця двох кубів: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Сума двох кубів: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

Приклад 1

Фактор (5² - x²)

Рішення

У цьому випадку є різниця двох квадратів; тому застосовується формула чудового продукту:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Приклад 2

Фактор 16х² + 40x + 25²

Рішення

У цьому випадку ми маємо ідеальний квадрат суми, тому що ми можемо ідентифікувати два терміни в квадраті, а залишився член є результатом множення двох на квадратний корінь першого члена, на квадратний корінь другого члена.

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Для коефіцієнта обчислюються тільки квадратні корені першого і третього членів:

16 (16x²) = 4x

. (25²) = 5.

Тоді два результуючі терміни відокремлюються знаком операції, а весь поліном квадрата:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Приклад 3

Фактор 27а³ - b³

Рішення

Вираз представляє віднімання, в якому до куба піднімаються два фактори. Для їх врахування застосовується формула помітного продукту різниці кубів, яка є:

a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Таким чином, для факторизації кубічний корінь кожного терміну біноміала витягується і множиться на квадрат першого члена, плюс добуток першого за другим членом, плюс другий член квадрата.

27a³ - b³

³√ (27а³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27a³ - b³ = (3a - b) _* (9а² + 3ab + b²)

Факторинг з правилом Руфіні

Цей метод використовується, коли у вас є поліном ступеня більше двох, щоб спростити вираз до декількох поліномів меншого ступеня.

Приклад 1

Фактор Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Рішення

Спочатку шукайте числа, які є дільниками 12, що є незалежним терміном; це ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 і ± 12.

Тоді x замінюється цими значеннями, від найнижчого до найвищого, і, таким чином, визначається з яким із значень поділ буде точним; решта повинна бути 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8. 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

І так далі для кожного дільника. У цьому випадку знайдені фактори при x = -1 і x = 2.

Тепер застосовується метод Ruffini, згідно з яким коефіцієнти виразу будуть розподілені між факторами, знайденими для точного розподілу. Поліноміальні члени впорядковані від найвищого до найнижчого показника; у випадку, якщо термін зі ступенем, що слідує в послідовності, відсутній, на його місці розміщується 0.

Коефіцієнти знаходяться в схемі, як показано на наступному зображенні.

Перший коефіцієнт знижується і множиться на дільник. У цьому випадку перший дільник дорівнює -1, і результат поміщається в наступний стовпець. Потім значення коефіцієнта додають вертикально з таким результатом, який був отриманий і результат поміщають нижче. Таким чином, процес повторюється до останнього стовпця.

Потім ту ж саму процедуру повторюють знову, але з другим дільником (що дорівнює 2), оскільки вираз все ще може бути спрощеним.

Таким чином, для кожного отриманого кореня поліном буде мати член (x - a), де "a" є значенням кореня:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

З іншого боку, ці терміни повинні бути помножені на залишок правила 1: 1 і -6, які є факторами, що представляють клас. Таким чином формується вираз: (x² + x - 6).

Отримання результату факторизації полінома методом Руффіні:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Щоб закінчити, поліном ступеня 2, який з'являється в попередньому виразі, можна переписати як (x + 3) (x-2). Тому остаточна факторизація:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

Список літератури

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра і тригонометрія з аналітичною геометрією. Освіта Пірсона.
2. J, V. (2014). Як навчити дітей про факторинг до поліноміального.
3. Manuel Morillo, A.S. (s.f.). Основні математики із застосуванням.
4. Roelse, P. L. (1997). Лінійні методи поліноміальної факторизації над скінченними полями: теорія та реалізації. Університет Ессен.
5. Sharpe, D. (1987). Кільця і ​​факторизація.