Властивості гомотеті, типи і приклади

The гомотеція є геометричним зміною в площині, де від фіксованої точки, що називається центром (O), відстані помножуються на загальний фактор. Таким чином, кожна точка P відповідає іншому продукту точки P 'перетворення, і вони вирівнюються з точкою O.

Тоді гомотетія є відповіддю між двома геометричними фігурами, де перетворені точки називаються гомотетичними, і вони вирівнюються з фіксованою точкою і з відрізками, паралельними один одному.

Індекс

• 1 Homotecia
• 2 Властивості
• 3 типи
  • 3.1 Пряма гомотетія
  • 3.2 Зворотна гомотетія
• 4 Склад
• 5 Приклади
  • 5.1 Перший приклад
  • 5.2 Другий приклад
• 6 Посилання

Гомотети

Гомотетія є перетворенням, яке не має конгруентного зображення, оскільки з фігури буде отримано одне або більше фігур більшого або меншого розміру, ніж вихідна фігура; тобто гомотетія перетворює багатокутник в інший подібний.

Для того, щоб гомотетія виконувалася, вони повинні відповідати точці-точці і прямій прямій, так що пари гомологічних точок узгоджуються з третьою фіксованою точкою, яка є центром гомотетії.

Аналогічно, пари ліній, що з'єднують їх, повинні бути паралельними. Зв'язок між такими сегментами є константою, що називається співвідношенням гомотетії (k); таким чином, що гомотетію можна визначити як:

Щоб зробити цей тип трансформації, ви почнете вибір довільної точки, яка буде центром гомотетії.

З цього моменту для кожної вершини фігури, яка підлягає трансформації, малюються відрізки лінії. Масштаб, в якому здійснюється відтворення нової фігури, задається причиною гомотетії (k).

Властивості

Одним з основних властивостей гомотетії є те, що з причини гомотетії (k) всі гомотетичні фігури подібні. Серед інших видатних властивостей є:

- Центр гомотетії (O) є єдиною подвійною точкою і перетворюється в себе; тобто не змінюється.

- Лінії, що проходять через центр, перетворюються самі (вони подвійні), але точки, які складають її, не є подвійними.

- Прямі, які не проходять через центр, перетворюються на паралельні лінії; таким чином, кути гомотетії залишаються тими ж.

- Зображення сегмента гомотетією центру O і відношення k, є сегментом, паралельним цьому і має k кратної довжини. Наприклад, як видно з наведеного нижче зображення, відрізок AB за допомогою гомотетики призведе до іншого сегмента A'B ', так що AB буде паралельно A'B', а k буде:

- Гомотетичні кути конгруентні; тобто вони мають однакову міру. Отже, зображення кута є кутом, який має ту саму амплітуду.

З іншого боку, гомотетія змінюється в залежності від значення його співвідношення (k), і можуть виникати наступні випадки:

- Якщо константа k = 1, то всі точки фіксуються, оскільки вони перетворюються самі. Таким чином, гомотетична фігура збігається з оригіналом, а перетворення буде називатися функцією ідентичності.

- Якщо k, 1, єдина нерухома точка буде центром гомотетії (O).

- Якщо k = -1, то гомотетія стає центральною симетрією (C); тобто обертання навколо С буде відбуватися під кутом 180^o.

- Якщо k> 1, то розмір перетвореної фігури буде більше розміру оригіналу.

- Так 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Так -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Якщо k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Типи

Гомотетія також може бути класифікована на два типи, в залежності від значення його співвідношення (k): \ t

Пряма гомотетія

Це відбувається, якщо константа k> 0; тобто, гомотетичні точки знаходяться на одній стороні по відношенню до центру:

Фактор пропорційності або співвідношення подібності між прямими гомотетичними показниками завжди буде позитивним.

Зворотний гомотетичний

Це відбувається, якщо константа k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Коефіцієнт пропорційності або співвідношення подібності між гомотетичними інверсними цифрами завжди буде негативним.

Композиція

Коли кілька рухів виконуються послідовно до отримання фігури, що дорівнює оригіналу, виникає склад рухів. Склад декількох рухів також є рухом.

Композиція між двома гомотекозами призводить до появи нової гомотеції; тобто, ми маємо гомотетичний продукт, в якому центр буде вирівняний з центром двох вихідних перетворень, а відношення (k) є продуктом двох причин..

Таким чином, у складі двох Н гомотеков₁(Or₁, k₁) і Н₂(Or₂, k₂), помноживши ваші причини: k₁ x k₂ = 1 призведе до гомотетії відношення k₃ = K₁ x k₂. Центр цієї нової гомотетії (O₃) буде розташований на O прямо₁ O₂.

Гомотетія відповідає рівній і необоротній зміні; якщо застосовуються дві гомотеки, які мають один і той же центр і відношення, але з іншим знаком, то буде отримана початкова цифра.

Приклади

Перший приклад

Застосуйте гомотетию до заданого центрального багатокутника (O), розташованого на 5 см від точки А, а коефіцієнт дорівнює = 0,7.

Рішення

Будь-яку точку вибирають як центр гомотетії, і з цього променя малюють вершинами фігури:

Відстань від центру (O) до точки A становить OA = 5; з цим можна визначити відстань однієї з гомотетичних точок (ОА '), знаючи також, що k = 0.7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Процес може бути виконаний для кожної вершини, або ви також можете намалювати гомотетичний багатокутник, пам'ятаючи, що два багатокутники мають паралельні сторони:

Нарешті, перетворення виглядає так:

Другий приклад

Застосуйте гомотетию до заданого центрального багатокутника (O), розташованого на відстані 8,5 см від точки С і у якого відношення k = -2.

Рішення

Відстань від центру (O) до точки C становить OC = 8,5; за допомогою цих даних можна визначити відстань однієї з гомотетичних точок (OC '), знаючи також, що k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

Після нанесення відрізків вершин перетвореного багатокутника ми маємо, що початкові точки та їх гомотетики розташовані в протилежних кінцях по відношенню до центру:

Список літератури

1. Альваро Рендон, А. Р. (2004). Технічне креслення: діяльність ноутбука.
2. Антоніо Альварес де ла Роса, Дж. Л. (2002). Афінність, гомологія і гомотетія.
3. Baer, ​​R. (2012). Лінійна алгебра та проекційна геометрія. Кур'єрська корпорація.
4. Hebert, Y. (1980). Загальна математика, ймовірності та статистика.
5. Meserve, B.E. (2014). Фундаментальні концепції геометрії. Кур'єрська корпорація.
6. Nachbin, L. (1980). Введення в алгебру. Реверте.