Методи та приклади підрахунку мультиплікативних принципів



The мультиплікативний принцип є методикою, яка використовується для вирішення проблем підрахунку для пошуку рішення без необхідності перелічувати його елементи. Він також відомий як основний принцип комбінаторного аналізу; базується на послідовному множенні, щоб визначити, як подія може відбуватися.

Цей принцип встановлює, що, якщо рішення (d1) можуть бути прийняті російською мовою та іншим рішенням (d2) можуть бути прийняті в m шляхах, загальна кількість способів, якими можуть бути прийняті рішення1 і d2 буде рівним множині n * m. Згідно з принципом, кожне рішення приймається один за іншим: кількість шляхів = N1 * N2... * Nx способів.

Індекс

  • 1 Приклади
    • 1.1 Приклад 1
    • 1.2 Приклад 2
  • 2 Методи підрахунку
    • 2.1 Принцип доповнення
    • 2.2 Принцип перестановки
    • 2.3 Принцип поєднання
  • 3 Вправи вирішені
    • 3.1 Вправа 1
    • 3.2 Вправа 2
  • 4 Посилання

Приклади

Приклад 1

Паула планує поїхати в кіно зі своїми друзями, і вибрати одяг, який вона буде носити, я відокремлюю 3 блузи і 2 спідниці. Скільки способів можна одягнути Паула??

Рішення

У цьому випадку Паула повинна приймати два рішення:

d1 = Вибирати між 3 блузками = n

d2 = Виберіть між 2 спідницями = m

Таким чином Паула має n * м рішень зробити або різними способами одягання.

n * m = 3* 2 = 6 рішень.

Мультиплікативний принцип виходить з техніки деревоподібної діаграми, яка є діаграмою, що пов'язує всі можливі результати, так що кожен може мати кінцеве число разів..

Приклад 2

Маріо був дуже спраглий, тому він пішов у пекарню, щоб купити сік. Луїс відповідає йому і каже йому, що він має два розміри: великий і маленький; і чотири смаки: яблуко, апельсин, лимон і виноград. Скільки способів Маріо може вибрати сік?

Рішення

На діаграмі можна помітити, що Маріо має 8 різних способів вибору соку і що, як і в мультиплікативному принципі, цей результат виходить шляхом множення n \ t*m. Єдина відмінність полягає в тому, що за допомогою цієї діаграми ви можете дізнатися, якими є способи вибору соку Маріо.

З іншого боку, коли кількість можливих результатів дуже велика, більш практично використовувати мультиплікативний принцип.

Підрахунки

Методи підрахунку - це методи, які використовуються для прямого підрахунку, і тому знають кількість можливих механізмів, які можуть мати елементи даного набору. Ці методи засновані на декількох принципах:

Принцип доповнення

Цей принцип стверджує, що, якщо два події m і n не можуть відбуватися одночасно, кількість способів, в яких може відбуватися перша або друга подія, буде складати суму m + n:

Кількість форм = m + n ... + x різних форм.

Приклад

Антоніо хоче поїхати, але не вирішує, до якого пункту призначення; У Південному туристичному агентстві вони пропонують Вам просування в Нью-Йорк або Лас-Вегас, а Східне туристичне агентство рекомендує Вам поїхати до Франції, Італії або Іспанії. Скільки різних альтернатив подорожі роблять Антоніо?

Рішення

З Південним туристичним агентством Антоніо є 2 альтернативи (Нью-Йорк або Лас-Вегас), а з Східним туристичним агентством є 3 варіанти (Франція, Італія або Іспанія). Кількість різних альтернатив:

Кількість альтернатив = m + n = 2 + 3 = 5 альтернатив.

Принцип перестановки

Мова йде про упорядкування всіх або деяких елементів, що складають набір, для полегшення підрахунку всіх можливих механізмів, які можуть бути зроблені з елементами.

Кількість перестановок n різних елементів, прийнятих одночасно, представлено як:

nPn = n!

Приклад

Чотири друзі хочуть сфотографуватися і хочуть знати, скільки різних форм можна замовити.

Рішення

Ви хочете знати набір всіх можливих способів, за якими можна розмістити 4 людини, щоб зробити знімок. Отже, ви повинні:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 різними способами.

Якщо кількість перестановок n доступних елементів приймається частинами множини, що формується елементами r, то вона представляється як:

nPr = n! N (n - r)!

Приклад

У аудиторії є 10 позицій. Якщо на заняттях відвідують 4 учні, скільки студентів можуть займати посади?

Рішення

Загальна кількість наборів стільців дорівнює 10, з них буде використано лише 4. Дана формула застосовується для визначення кількості перестановок:

nPr = n! N (n - r)!

10P4 = 10! 10 (10 - 4)!

10P4 = 10! . 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1. 6*5*4*3*2*1 = 5040 способів заповнення повідомлень.

Є випадки, коли деякі з доступних елементів множини повторюються (вони однакові). Для обчислення кількості пристроїв, які беруть відразу всі елементи, використовується наступна формула:

nPr = n! . N1!* n2!... nr!

Приклад

Скільки різних слів з чотирьох літер можна сформувати з слова "вовк"?

Рішення

У цьому випадку ми маємо 4 елементи (букви), з яких дві з них однакові. Застосовуючи цю формулу, ми знаємо, скільки різних слів:

nPr = n! . N1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! . 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 = 2 = 12 різних слів.

Принцип поєднання

Мова йде про фіксування всіх або деяких елементів, які утворюють безліч без певного порядку. Наприклад, якщо у вас є масив XYZ, він буде ідентичним масивам ZXY, YZX, ZYX, серед інших; це відбувається тому, що, незважаючи на те, що вони не перебувають у тому самому порядку, елементи кожної композиції є однаковими.

Коли деякі елементи (r) набору (n) взяті, принцип комбінації задається наступною формулою:

nCr = n! N (n - r)! R!

Приклад

У магазині продають 5 різних видів шоколаду. Скільки різних способів ви можете вибрати 4 цукерок?

Рішення

У цьому випадку ви повинні вибрати 4 шоколадні цукерки з 5 видів, що продаються в магазині. Порядок, в якому вони вибираються, не має значення і, крім того, тип шоколаду можна вибрати більше двох разів. Застосовуючи формулу, ви повинні:

nCr = n! N (n - r)! R!

5C4 = 5! 5 (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! (1)!!

5C4 = 5*4*3*2*1. 4*3*2*1

5C4 = 120 = 24 = 5 різних способів вибору 4 цукерок.

Коли всі елементи (r) набору (n) взяті, принцип комбінації задається наступною формулою:

nCn = n!

Вирішені вправи

Вправа 1

У вас є бейсбольна команда з 14 членами. Як багато способів можна призначити 5 позицій для гри?

Рішення

Набір складається з 14 елементів і ви хочете призначити 5 конкретних позицій; тобто, цей порядок має значення. Застосовується формула перестановок, де n доступних елементів беруть частинами множини, утвореної r.

nPr = n! N (n - r)!

Де n = 14 і r = 5. Замінюється у формулі:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! (9)!

14P5 = 240 240 способів призначення 9 ігрових позицій.

Вправа 2

Якщо сім'я з 9 членів їде в подорож і купує квитки з послідовними місцями, скільки різних способів вони можуть сидіти?

Рішення

Це близько 9 елементів, які займуть 9 місць послідовно.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 різних способів сидіння.

Список літератури

  1. Хопкінс, Б. (2009). Ресурси для викладання дискретної математики: аудиторні проекти, модулі історії та статті.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Дискретна математика Освіта Пірсона,.
  3. Лютфія, Л. А. (2012). Рішення задач кінцевої та дискретної математики. Редактори Асоціації досліджень та освіти.
  4. Padro, F. C. (2001). Дискретна математика Politèc. Каталонії.
  5. Штайнер, Е. (2005). Математика для прикладних наук. Реверте.