Що таке тригонометричні межі? (з розв'язаними вправами)

The тригонометричні межі вони є межами таких функцій, що ці функції формуються тригонометричними функціями.

Існують два визначення, які повинні бути відомі для того, щоб зрозуміти, як виконується обчислення тригонометричного ліміту.

Ці визначення:

- Обмеження функції "f", коли "x" прагне до "b": воно полягає в обчисленні значення, до якого наближається f (x), коли "x" наближається до "b", не досягаючи "b".

- Тригонометричні функції: тригонометричні функції - функції синуса, косинуса і дотичних, позначені відповідно sin (x), cos (x) і tan (x) відповідно.

Інші тригонометричні функції отримуються з трьох функцій, згаданих вище.

Межі функцій

Для з'ясування поняття межі функції будемо переходити до показу деяких прикладів з простими функціями.

- Межа f (x) = 3, коли "x" прагне до "8", дорівнює "3", оскільки функція завжди є постійною. Незалежно від того, наскільки "x" варто, значення f (x) завжди буде "3".

- Межа f (x) = x-2, коли "x" прагне до "6", є "4". Відколи "x" наближається до "6", то "x-2" наближається до "6-2 = 4".

- Межа g (x) = x², коли "x" прагне до "3", дорівнює 9, оскільки, коли "x" наближається до "3", то "x²" наближається до "3² = 9".

Як можна бачити в попередніх прикладах, обчислення межі складається з оцінки значення, до якого "x" прагне у функції, і результат буде значенням межі, хоча це справедливо тільки для безперервних функцій..

Чи є більш складні межі?

Відповідь - так. Наведені вище приклади є найпростішими прикладами меж. У розрахункових книгах основними обмеженнями вправ є ті, які генерують невизначеність типу 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 та (∞) ^ 0.

Ці вирази називаються невизначеностями, оскільки вони є виразами, які математично не мають сенсу.

На додаток до цього, в залежності від функцій, що беруть участь у вихідній межі, результат, отриманий при вирішенні невизначеностей, може бути різним у кожному випадку.

Приклади простих тригонометричних меж

Для вирішення меж завжди корисно знати графіки функцій. Нижче наведені графіки функцій синуса, косинуса і дотичних.

Деякі приклади простих тригонометричних обмежень:

- Обчислити межу sin (x), коли "x" прагне до "0".

При перегляді графіка видно, що якщо "x" наближається до "0" (як зліва, так і праворуч), то графік синуса також наближається до "0". Отже, межа sin (x), коли "x" прагне до "0", дорівнює "0".

- Обчислити межу cos (x), коли "x" прагне до "0".

Спостерігаючи косинусний графік, можна бачити, що коли "x" близький до "0", то косинусний графік близький до "1". Звідси випливає, що межа cos (x), коли "x" прагне до "0", дорівнює "1".

Ліміт може існувати (бути числом), як і в попередніх прикладах, але також може статися, що він не існує, як показано в наступному прикладі.

- Межа tan (x), коли "x" прагне до "2/2" зліва, дорівнює "+ ∞", як це видно на графіку. З іншого боку, межа tan (x), коли "x" прагне до "-Π / 2" справа, дорівнює "-∞".

Ідентичність тригонометричних меж

Дві дуже корисні ідентичності при розрахунку тригонометричних меж:

- Межа "sin (x) / x", коли "x" прагне до "0", дорівнює "1".

- Межа "(1-cos (x)) / x", коли "x" прагне до "0", дорівнює "0".

Ці ідентичності використовуються дуже часто, коли у вас є якась невизначеність.

Вирішені вправи

Вирішіть наступні обмеження за допомогою ідентичностей, описаних вище.

- Обчислити межу "f (x) = sin (3x) / x", коли "x" прагне до "0".

Якщо функція "f" оцінюється в "0", то буде отримано визначення типу 0/0. Тому ми повинні намагатися вирішити цю невизначеність, використовуючи описані ідентичності.

Єдина різниця між цим обмеженням і ідентичністю - це число 3, яке з'являється в межах функції синуса. Для того, щоб застосувати ідентичність, функцію "f (x)" потрібно переписати наступним чином "3 * (sin (3x) / 3x)". Тепер і аргумент синуса, і знаменник рівні.

Отже, коли "x" прагне до "0", використовуючи результати ідентифікації в "3 * 1 = 3". Тому межа f (x), коли "x" прагне до "0", дорівнює "3".

- Обчислити межу "g (x) = 1 / x - cos (x) / x", коли "x" прагне до "0".

Коли "x = 0" замінено на g (x), отримується невизначеність типу ∞-∞. Для її вирішення віднімаються дроби, що дає результат "(1-cos (x)) / x".

Тепер, при застосуванні другої тригонометричної ідентичності, ми маємо межу g (x), коли "x" прагне до "0", дорівнює 0.

- Обчислити межу "h (x) = 4tan (5x) / 5x", коли "x" прагне до "0".

Знову ж таки, якщо оцінити h (x) до "0", ви отримаєте визначення типу 0/0.

Переписування tan (5x) як sin (5x) / cos (5x) результатів, що h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Використовуючи межу 4 / cos (x), коли "x" прагне до "0", дорівнює "4/1 = 4" і отримано першу тригонометричну ідентичність, що межа h (x), коли "x" має тенденцію "0" дорівнює "1 * 4 = 4".

Спостереження

Тригонометричні межі не завжди легко вирішити. У цій статті були показані лише основні приклади.

Список літератури

1. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus Математика. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Переклас-математика: підхід до вирішення проблем (2, Ілюстрований авт.). Мічиган: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Алгебра і тригонометрія з аналітичною геометрією. Освіта Пірсона.
4. Ларсон, Р. (2010). Precalculus (8 изд.). Навчання Cengage.
5. Leal, J. M., & Viloria, N.G. (2005). Плоска аналітична геометрія. Меріда - Венесуела: Редакція Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Освіта Пірсона.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Розрахунок (Дев'ята редакція). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Диференціальне числення з ранніми трансцендентними функціями для науки і техніки (Друге видання ред.). Гіпотенуза.
9. Скотт, К. А. (2009). Геометрія декартової площини, частина: аналітичні коніки (1907) (передрук. ред.). Джерело блискавки.
10. Салліван, М. (1997). Precalculus. Освіта Пірсона.