Що таке косі трикутники? (з розв'язаними вправами)

The похилі трикутники - це трикутники, які не є прямокутниками. Тобто трикутники такі, що жоден з його кутів не є прямим кутом (його вимірювання становить 90º).

Не маючи прямого кута, то теорема Піфагора не може бути застосована до цих трикутників.

Тому, щоб дізнатися дані в косому трикутнику, необхідно використовувати інші формули.

Формули, необхідні для вирішення косоугольного трикутника, - це так звані закони синусів і косинусів, які будуть описані пізніше.

На додаток до цих законів завжди можна використовувати той факт, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º..

Нахилені трикутники

Як було сказано на початку, похилий трикутник являє собою трикутник, такий, що жоден з його кутів не вимірює 90º.

Проблема знаходження довжин сторін косоугольного трикутника, а також знаходження вимірів його кутів називається "дозволом косих трикутників" \ t.

Важливим фактом при роботі з трикутниками є те, що сума трьох внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º. Це загальний результат, тому для косих трикутників він також може бути застосований.

Закони грудей і косинусів

Дано трикутник ABC зі сторонами довжини "a", "b" і "c":

- Законом грудей зазначається, що a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), де A, B і C є протилежними кутами до "a", "b" і "c" відповідно.

- Закон косинусів вказує, що: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Еквівалентно можна використовувати такі формули:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) або a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

За допомогою цих формул можна обчислити дані трикутника з похилим кутом.

Вправи

Ось деякі вправи, в яких ви повинні знайти відсутні дані трикутників, дані з певних даних.

Перша вправа

Даний трикутник ABC такий, що A = 45º, B = 60º і a = 12cm, обчислити інші дані трикутника.

Рішення

Використовуючи, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º, ви повинні

C = 180º-45º-60º = 75º.

Три кути вже відомі. Потім переходьте до використання закону грудей, щоб обчислити дві сторони, які відсутні.

Рівняння, які задаються, 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

З першого рівності можна очистити "б" і отримати це

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696см.

Ви також можете очистити "c" і отримати це

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 см.

Друге вправу

Враховуючи трикутник ABC, такий, що A = 60º, C = 75º та b = 10cm, обчислити інші дані трикутника.

Рішення

Як і в попередній вправі, B = 180º-60º-75º = 45º. Крім того, використовуючи закон грудей, необхідно, щоб a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), з якого виходить, що a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 см і c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 см.

Третя вправа

Даний трикутник ABC такий, що a = 10cm, b = 15cm і C = 80º, обчислити інші дані трикутника.

Рішення

У цій вправі відомий лише один кут, тому не можна починати так, як це робили у двох попередніх вправах. Крім того, закон грудей не може бути застосований, тому що ніяке рівняння не може бути вирішене.

Тому переходимо до застосування закону косинусів. Тоді це

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272 905 см,

так що c ≈ 16.51 cm. Тепер, знаючи 3 сторони, використовується закон грудей, і ви отримуєте

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16.51cm / sin (80º).

Звідси, на очищенні B, вона виходить без (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, що означає, що B ≈ 63.38º.

Тепер можна отримати, що A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Четверте вправу

Сторони косого трикутника a = 5cm, b = 3cm і c = 7cm. Розрахуйте кути трикутника.

Рішення

Знову ж таки, закон грудей не може бути застосований безпосередньо, оскільки жодне рівняння не послужить для отримання значення кутів.

Використовуючи закон косинуса, маємо, що c² = a² + b² - 2ab cos (C), де, коли ми очищаємо, маємо, що cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 і тому C = 120º.

Тепер, якщо можна застосувати закон грудей і отримати 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), де ви можете очистити B і отримати, що без (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0.371, так що B = 21.79º.

Нарешті, останній кут розраховується з використанням A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

Список літератури

1. Landaverde, F. d. (1997). Геометрія (Передрук ред.). Прогрес.
2. Leake, D. (2006). Трикутники (проілюстровано авт.). Хайнеманн-Рейнтрі.
3. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Освіта Пірсона.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Геометрії. Технологія CR.
5. Салліван, М. (1997). Precalculus. Освіта Пірсона.
6. Салліван, М. (1997). Тригонометрія та аналітична геометрія. Освіта Пірсона.