Які типи інтегралів існують?



The типи інтегралів що ми знаходимо в розрахунку: Невизначені інтеграли і визначені інтеграли. Хоча певні інтеграли мають набагато більше застосувань, ніж невизначені інтеграли, необхідно спочатку навчитися вирішувати невизначені інтеграли.

Одним з найбільш привабливих додатків певних інтегралів є розрахунок обсягу твердого революції.

Обидва типи інтегралів мають однакові властивості лінійності, а також методи інтеграції не залежать від типу інтеграла.

Але, незважаючи на те, що вони дуже схожі, існує головна відмінність; у першому типі інтеграла результат є функцією (яка не є специфічною), а у другому - результатом числа.

Два основні типи інтегралів

Світ інтегралів дуже широкий, але в цьому можна виділити два основних типи інтегралів, які мають велику застосовність у повсякденному житті.

1 - Невизначені інтеграли

Якщо F '(x) = f (x) для всіх x в області f, то ми скажемо, що F (x) є антидерівівативним, примітивним або інтегралом з f (x).

З іншого боку, зауважте, що (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), що означає, що інтеграл функції не є унікальним, оскільки даючи різні значення до постійної C, отримаємо різні антидериванти.

З цієї причини F (x) + C називається невизначеним інтегралом f (x), а C називається постійною інтеграції, і ми записуємо її наступним чином

Як бачимо, невизначений інтеграл функції f (x) є сімейством функцій.

Наприклад, якщо потрібно обчислити невизначений інтеграл функції f (x) = 3x², то спочатку потрібно знайти антидереватив f (x).

Неважко помітити, що F (x) = x³ є антидерівативним, оскільки F '(x) = 3x². Тому можна зробити висновок

(F (x) dx = x3x²dx = x³ + C.

2 - визначені інтеграли

Нехай y = f (x) є фактичною функцією, безперервною в замкнутому інтервалі [a, b], а F (x) - антидерівативною з f (x). Вона називається певним інтегралом f (x) між межами a і b до числа F (b) -F (a) і позначається наступним чином:

Наведена вище формула більш відома як "Фундаментальна теорема обчислення". Тут "a" називається нижньою межею, а "b" - верхньою межею. Як ви можете бачити, певним інтегралом функції є число.

У цьому випадку, якщо обчислюється певний інтеграл f (x) = 3x² в інтервалі [0.3], буде отримано число..

Для визначення цього числа вибираємо F (x) = x³ як антидерев'янту f (x) = 3x². Тоді обчислимо F (3) -F (0), що дає нам результат 27-0 = 27. На закінчення, певний інтеграл f (x) в інтервалі [0,3] дорівнює 27.

Можна підкреслити, що якщо обрано G (x) = x³ + 3, то G (x) є антидерівівативним для f (x), відмінним від F (x), але це не впливає на результат, оскільки G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. З цієї причини в заданих інтегралах не з'являється константа інтеграції.

Одним з найбільш корисних додатків, якими має цей тип інтеграла, є те, що він дозволяє обчислити площу (об'єм) плоскої фігури (суцільного обертання), встановивши відповідні функції та межі інтеграції (і вісь обертання)..

У межах визначених інтегралів ми можемо знайти різні розширення цього, як, наприклад, лінійні інтеграли, поверхневі інтеграли, неправильні інтеграли, множинні інтеграли, серед інших, всі з дуже корисними додатками в науці та техніці.

Список літератури

  1. Casteleiro, J. M. (2012). Легко інтегрувати? Самонавчальний посібник. Мадрид: ESIC.
  2. Casteleiro, J. M., & Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Комплексний розрахунок (Ілюстрований ред.). Мадрид: редакція ESIC.
  3. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus Математика. Prentice Hall PTR.
  4. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Переклас-математика: підхід до вирішення проблем (2, Ілюстрований авт.). Мічиган: Prentice Hall.
  5. Kishan, H. (2005). Інтегральне числення. Атлантичні видавці та дистриб'ютори.
  6. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Розрахунок (Дев'ята редакція). Prentice Hall.