Що таке вектор і які його характеристики?

A вектор це кількість або явище, що має дві незалежні властивості: величину і напрямок. Термін також позначає математичне або геометричне представлення такої величини.

Прикладами векторів в природі є швидкість, сила, електромагнітні поля і вага. Кількість або явище, яке показує лише величину, без конкретного напрямку, називається скалярною.

Приклади скалярів включають швидкість, масу, електричний опір і ємність жорсткого диска.

Вектори можуть бути представлені графічно в двох або трьох вимірах. Величина показана як довжина сегмента. Напрямок показано орієнтацією сегмента і стрілкою на одному кінці.

На малюнку вище показані три вектори в двовимірних прямокутних координатах (декартовій площині) та їх еквіваленти в полярних координатах..

Вектори фізики

У фізиці, коли у вас є вектор, потрібно враховувати дві величини: її напрямок і його величину. Кількості, які мають лише одну величину, називаються скалярами. Якщо напрямок наведено до скалярної величини, створюється вектор.

Візуально ви бачите вектори, намальовані стрілками, що ідеально, тому що стрілка має чіткий напрямок і чітку величину (довжина стрілки).

На наступному малюнку стрілка являє собою вектор, який починається від підніжжя стрілки (також називається хвостом) і закінчується в голові.

У фізиці звичайно для виділення вектора використовується звичайна буква, хоча вона також може бути представлена ​​у вигляді букви зі стрілкою на ній..

Стрілка означає, що це не просто скалярне значення, яке було б представлено A, а й щось з напрямком.

Відмінності між вектором і скаляром

Значення, які не є векторами, є скалярними. Наприклад, така кількість 500 яблук є скалярною, вона не має адреси, це лише величина. Час теж є скалярним, він не має напрямку.

Однак швидкість є вектором, оскільки вона не тільки визначає величину (швидкість) маршруту, але й вказує напрямок (і напрямок) маршруту.

Наприклад, лінія дії вектора швидкості може

30 ° від горизонталі. Тому ми знаємо, в якому напрямку рухається об'єкт.

Проте, це все ще не вказує напрямок поїздки, чи віддаляється вона від нас або наближається до нас. Тому ми також вказуємо напрямок, в якому вектор діє через стрілку.

Силою, прискоренням і пройденою відстанню також є вектори. Наприклад, кажучи, що автомобіль, переміщений на 10 метрів, не вказує, в якому напрямку він рухався. Щоб повністю визначити рух, необхідно також вказати напрямок і напрямок руху.

Сила також є вектором, тому що якщо ви тягнете об'єкт до себе, він наближається до вас, і якщо ви відштовхуєте об'єкт від себе. Тому сила має напрямок і сенс, а отже, це вектор.

Приклад

Як приклади інформації, яку надає вектор, ми маємо наступне:

Шукайте золотий мішок

Припустимо, вчитель говорить вам: "Мішок із золотом знаходиться поза класом, щоб знайти його, перемістіться на 20 метрів". Ця заява, безумовно, зацікавить вас, однак, в декларації недостатньо інформації, щоб знайти золотий мішок.

Переміщення, необхідне для пошуку золота, не описано повністю. З іншого боку, припустимо, що ваш вчитель каже вам: "Мішок із золотом розташований поза класом, щоб знайти його переміщення з центру дверей класу 20 метрів у напрямку 30 ° на захід від півночі".

Ця заява тепер надає повний опис вектора зміщення, яке перераховує величину (20 метрів) і напрямок (30 ° на захід від півночі) по відношенню до позиції відліку або виходу (центр дверей класу). ).

Векторні величини не описані повністю, якщо не вказані як величина, так і напрямок.

Переміщення автомобіля

Коли ми рухаємося в автомобілі, ми використовуємо різні вектори. Ці вектори з'являються кожного разу, коли ми змінюємо швидкість.

Коли ми прискорюємо, щоб наздогнати інший автомобіль, ми додаємо змінні напрямки і швидкості, які складають новий вектор.

З іншого боку, коли ми хочемо зменшити швидкість, ми віднімаємо вектори, відповідні згаданого уповільнення.

В іншому сенсі, коли ми обертаємося, не змінюючи швидкості, ми змінюємо сенс до вектора, який виникає з руху автомобіля.

Відкрийте двері

Коли ми відкриваємо двері, ми використовуємо кілька векторів. По-перше, ми повинні надрукувати силу в заданому напрямку, щоб повернути ручку дверей, тоді ми повинні натиснути двері в заданому напрямку, друкувати силу.

Ці значення сил і напрямків відповідають векторам, які використовуються для відкриття дверей. Процес закриття дверей, буде генерувати новий вектор, в якому його значення буде негативним по відношенню до того, що дано спочатку, щоб відкрити його.

Перемістити вікно

Коли ми хочемо підштовхнути коробку, яка є дуже важкою, ми повинні докласти сили до її бічній поверхні. Ця сила повинна здійснюватися в одному напрямку, щоб коробка могла рухатися.

У цьому випадку вектор буде випливати з комбінації сили і напрямку, застосованого для переміщення коробки.

У випадку, якщо сила не використовується для натискання на коробку, але щоб підняти її вертикально, з'явиться новий вектор.

Цей вектор буде складатися з вертикальної осі, на якій піднімається коробка, і сили, що прикладається, щоб підняти її.

Перемістіть шахову плитку

Як і в попередньому прикладі, шаховий чіп можна переміщати по поверхні столу - в заданому напрямку і, застосовуючи певну силу - змінювати своє положення на дошці, генеруючи вектор.

Він також може бути знятий з дошки, генеруючи новий вектор вертикально.

Натисніть кнопку

Бото буде натиснуто тільки в одному напрямку, заданому тією ж системою, що містить кнопку.

Щоб натиснути цю кнопку, необхідно застосувати силу пальцем. В результаті здійснення цього руху виникне вектор.

Грайте в більярд

Дія удару більярдної кулі з дерев'яним кийтом негайно призводить до вектора, оскільки має ефект двох величин: сила і напрямок.

На більярдний м'яч буде застосовано силу, щоб перемістити її в певному напрямку. Більярдна куля на столі буде мати раніше встановлений сенс, який буде залежати від рішення гравця.

Потягнувши іграшковий автомобіль

Коли дитина візьме свій іграшковий автомобіль і потягне його за мотузку, або просто маніпулює його руками, він буде генерувати численні вектори.

Кожного разу, коли дитина змінює швидкість або напрямок руху автомобіля, вона створює новий вектор.

Змінні вектора, в даному випадку, будуть складатися з енергії, яку дитина застосовує до автомобіля, і напрямку, в якому він хоче його перемістити..

Представлення векторів

Векторні величини часто представлені масштабованими векторними діаграмами.

Векторні діаграми представляють вектор за допомогою стрілки, намальованої в масштабі в певному напрямку. Відповідна векторна діаграма повинна мати кілька характеристик:

• Шкала чітко вказана.
• Векторна стрілка намальована (зі стрілкою) у певному напрямку. Векторна стрілка має голову і хвіст.
• Величина і напрямок вектора чітко позначені.

Адреса вектора

Вектори можуть бути спрямовані на схід, захід, південь і північ. Але деякі вектори спрямовані на північний схід (під кутом 45 °). Таким чином, існує чітка потреба у визначенні напрямку вектора, який не залежить від півночі, півдня, сходу або заходу.

Існує безліч умовностей для опису напряму будь-якого вектора, однак тільки два з них будуть пояснені нижче.

1 - напрямок вектора часто виражається як кут повороту вектора навколо його "хвоста" на схід, захід, північ або південь.

Наприклад, можна сказати, що вектор має адресу 40 ° на північ від заходу (це означає, що вектор, спрямований на захід, був повернений на 40 ° до північного напрямку) або що він має напрямок 65 ° на схід від півдня (це означає, що вектор, спрямований на південь, повернувся на 65 ° на схід).

2-напрямок вектора часто виражається як кут повороту в напрямку проти годинникової стрілки вектора. Використовуючи цю угоду, вектор з напрямком 30 ° є вектор, повернутий на 30 ° проти годинникової стрілки відносно східного.

Вектор з напрямком 160 ° - вектор, повернутий на 160 ° проти годинникової стрілки відносно сходу. Вектор з напрямком 270 ° - вектор, повернутий на 270 ° проти годинникової стрілки відносно сходу.

Величина вектора

Величина вектора в масштабованій векторній діаграмі представлена ​​довжиною стрілки. Стрілка малюється з точною довжиною відповідно до обраної шкали.

Наприклад, якщо ви хочете намалювати вектор, який має величину 20 метрів, ви можете вибрати як масштаб 1 см = 5 метрів, і намалювати стрілку довжиною 4 см..

Використовуючи той же масштаб (1 см = 5 метрів), вектор переміщення 15 метрів буде представлений стрілкою довжиною 3 см.

Таким же чином, вектор переміщення 25 метрів представлений стрілкою довжиною 5 см. \ T І, нарешті, вектор переміщення 18 метрів представлений стрілкою довжиною 3,6 см.

Інші характеристики векторів

Рівність: сказано, що два вектори однакові, якщо вони мають однакову величину і напрямок. Еквівалентно вони будуть рівні, якщо їх координати рівні.

Опозиція: два вектори є протилежними, якщо вони мають однакову величину, але навпаки.

Паралелі: два вектори паралельні, якщо вони мають однаковий напрямок, але не обов'язково однакові величини, або антипаралельні, якщо вони мають протилежний напрямок, але не обов'язково однакові величини.

Векторний блок: одиничним вектором є будь-який вектор з довжиною одиниці.

Вектор нуль: нульовий вектор - це вектор з нульовою довжиною. На відміну від будь-якого іншого вектора, він має довільний або невизначений напрямок і не може бути нормалізований

Список літератури

1. Jong IC, Rogers BG. Інженерна механіка: статика (1991). Видавництво коледжу Сондерс.
2. Іто К. Енциклопедичний математичний словник (1993). MIT Press.
3. Іванов А.Б. Енциклопедія математики (2001). Springer.
4. Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Саннивейл: Динаміка OnLine.
5. Lang S. Вступ до лінійної алгебри (1986). Springer.
6. Ніку С. Інженерні принципи у повсякденному житті неінженерів (2016). Morgan & Claypool.
7. Pedoe D. Geometry: комплексний курс (1988). Дувр.