Розрахунок наближень за допомогою диференціала

Апроксимація в математиці - це число, яке не є точним значенням чогось, але настільки близько до нього, що вважається корисним, як точне значення.

Коли в математиці зроблені наближення, це відбувається тому, що вручну важко (або іноді неможливо) знати точне значення того, чого хочеться.

Основним інструментом при роботі з наближеннями є диференціал функції.

Диференціал функції f, позначений Δf (x), не більше, ніж похідна функції f, помножена на зміну незалежної змінної, тобто Δf (x) = f '(x) * Δx.

Іноді df і dx використовуються замість Δf і Δx.

Підходи використовують диференціал

Формула, яка застосовується для наближення через диференціал, виникає саме з визначення похідної функції як межі.

Ця формула подається:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Тут розуміється, що Δx = x-x0, отже, x = x0 + Δx. За допомогою цієї формули можна переписати як

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Слід зазначити, що "x0" не є довільним значенням, а є таким, що f (x0) легко відомо; Крім того, "f (x)" - це лише величина, яку ми хочемо наблизити.

Чи є кращі наближення?

Відповідь - так. Попередній - найпростіший з наближень, що називається "лінійна апроксимація".

Для кращого наближення якості (помилка менше) використовуються поліноми з більшою кількістю похідних під назвою "поліном Тейлора", а також інші чисельні методи, такі як метод Ньютона-Рафсона..

Стратегія

Стратегія:

- Виберіть відповідну функцію f для виконання апроксимації, а значення "x" таке, що f (x) - це значення, яке потрібно наблизити.

- Виберіть значення "x0", близьке до "x", таке, що f (x0) легко обчислити.

- Обчислити Δx = x-x0.

- Обчислити похідну функції та f '(x0).

- Замініть дані у формулі.

Вирішуються апроксимаційні вправи

У чому продовжується серія вправ, де наближення зроблено з використанням диференціала.

Перша вправа

Приблизно √3.

Рішення

Слідуючи стратегії, необхідно вибрати відповідну функцію. У цьому випадку видно, що функція, яку потрібно вибрати, має бути f (x) = √x, а наближене значення f (3) = √3.

Тепер необхідно вибрати значення "x0", близьке до "3", так що f (x0) легко обчислити. Якщо ви виберете "x0 = 2", ви маєте, що "x0" близька до "3", але f (x0) = f (2) = is2 нелегко обчислити.

Значення "x0", що є зручним, є "4", тому що "4" близьке до "3", а також f (x0) = f (4) = =4 = 2.

Якщо "x = 3" і "x0 = 4", то Δx = 3-4 = -1. Тепер перейдемо до обчислення похідної f. Тобто f '(x) = 1/2 * √x, так що f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Підставивши всі значення у формулу, ви отримаєте:

=3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Якщо використовується калькулятор, виходить, що ≈3≈1.73205 ... Це показує, що попередній результат є гарною апроксимацією реального значення.

Друга вправа

Приблизно √10.

Рішення

Як і раніше, його вибирають як функцію f (x) = andx, а в цьому випадку x = 10.

Значення x0, яке необхідно вибрати в цій можливості, є "x0 = 9". Тоді маємо, що Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 і f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

При оцінці у формулі ви отримуєте це

=10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Використовуючи калькулятор, ви отримаєте, що 10 ≈ 3.1622776 ... Тут ви також можете побачити, що гарне наближення було отримано до.

Третя вправа

Орієнтовно ³ where10, де ³√ позначає кубічний корінь.

Рішення

Очевидно, що функція, яку слід використовувати в цій вправі, є f (x) = ³√x, а значення "x" має бути "10".

Значення, близьке до "10", так що відомий його кубічний корінь - "x0 = 8". Тоді маємо, що Δx = 10-8 = 2 і f (x0) = f (8) = 2. Також маємо, що f '(x) = 1/3 * ³√x², а отже f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Підставивши дані у формулу, виходить, що:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Калькулятор говорить, що ³√10 ≈ 2.15443469 ... Отже, знайдене наближення хороше.

Четверта вправа

Наближення ln (1.3), де "ln" позначає функцію натурального логарифма.

Рішення

Спочатку вибирається функція f (x) = ln (x), а значення "x" дорівнює 1.3. Тепер, знаючи трохи про логарифмічну функцію, можна знати, що ln (1) = 0, а також "1" близький до "1.3". Тому вибирається "x0 = 1", тому Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

З іншого боку f '(x) = 1 / x, так що f' (1) = 1. При оцінці в даній формулі потрібно:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

При використанні калькулятора ви повинні ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Так що наближення зроблено добре.

Список літератури

1. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus Математика. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Переклас-математика: підхід до вирішення проблем (2, Ілюстрований авт.). Мічиган: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Алгебра і тригонометрія з аналітичною геометрією. Освіта Пірсона.
4. Ларсон, Р. (2010). Precalculus (8 изд.). Навчання Cengage.
5. Leal, J. M., & Viloria, N.G. (2005). Плоска аналітична геометрія. Меріда - Венесуела: Редакція Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Освіта Пірсона.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Розрахунок (Дев'ята редакція). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Диференціальне числення з ранніми трансцендентними функціями для науки і техніки (Друге видання ред.). Гіпотенуза.
9. Скотт, К. А. (2009). Геометрія декартової площини, частина: аналітичні коніки (1907) (передрук. ред.). Джерело блискавки.
10. Салліван, М. (1997). Precalculus. Освіта Пірсона.