Як отримати площу Пентагону?

The розрахована площа п'ятикутника методом, відомим як тріангуляція, який може бути застосований до будь-якого багатокутника. Цей метод полягає в поділі п'ятикутника на кілька трикутників.

Після цього обчислюється площа кожного трикутника і додається всі знайдені області. Результатом буде область Пентагону.

Пентагон також можна розділити на інші геометричні форми, такі як трапеція і трикутник, як на малюнку справа.

Проблема полягає в тому, що довжину основної бази і висоту трапеції розрахувати нелегко. Крім того, необхідно розрахувати висоту червоного трикутника.

Як розрахувати площу п'ятикутника?

Загальним методом розрахунку площі п'ятикутника є тріангуляція, але метод може бути прямим або трохи довшим в залежності від того, чи є п'ятикутник регулярним чи ні..

Площа звичайного п'ятикутника

Перед обчисленням області необхідно знати, що таке апотем.

Апотема звичайного п'ятикутника (регулярний багатокутник) - це найменша відстань від центру п'ятикутника (багатокутника) до середини однієї сторони п'ятикутника (багатокутник).

Іншими словами, апотемом є довжина відрізка лінії, що йде від центру п'ятикутника до середини сторони.

Розглянемо звичайний п'ятикутник такий, що довжина його сторін є "L". Щоб обчислити свій апотем, спочатку поділіть центральний кут α між числом сторін, тобто α = 360º / 5 = 72º.

Тепер, використовуючи тригонометричні співвідношення, довжина апотема обчислюється, як показано на наступному зображенні.

Тому апотем має довжину L / 2 tan (36 °) = L / 1,45.

Здійснюючи тріангуляцію п'ятикутника, ви отримаєте фігуру, подібну до наведеної нижче.

5 трикутників мають однакову площу (тому що це звичайний п'ятикутник). Тому площа п'ятикутника в 5 разів перевищує площу трикутника. Тобто: площа п'ятикутника = 5 * (L * ap / 2).

Підставивши значення apothem, отримаємо, що область A = 1.72 * L².

Тому для розрахунку площі звичайного п'ятикутника потрібно знати тільки довжину сторони.

Площа нерегулярного п'ятикутника

Вона починається від неправильного п'ятикутника, так що довжини його сторін L1, L2, L3, L4 і L5. У цьому випадку apothem не може бути використаний, як раніше.

Після виконання тріангуляції ви отримаєте такий вигляд:

Тепер ми продовжимо малювати і розраховувати висоти цих 5 внутрішніх трикутників.

Тоді області внутрішніх трикутників T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 і T5 = L5 * h5 / 2.

Значення, відповідні h1, h2, h3, h4 і h5, є висотами кожного трикутника відповідно.

Нарешті, площа п'ятикутника є сумою цих 5 областей. Тобто A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Як бачите, розрахунок площі нерегулярного п'ятикутника складніший, ніж розрахунок площі звичайного п'ятикутника.

Визначник Гауса

Існує також інший метод, за допомогою якого можна обчислити площу будь-якого неправильного багатокутника, відомого як визначник Гауса.

Цей метод складається з малювання багатокутника в декартовій площині, потім обчислюються координати кожної вершини.

Вершини перераховуються проти годинникової стрілки, і, нарешті, розраховуються певні детермінанти, щоб нарешті отримати площу полігону, про який йде мова.

Список літератури

1. Олександр, D. C., & Koeberlein, Г. М. (2014). Елементарна геометрія для студентів коледжу. Навчання Cengage.
2. Артур Гудман, Л. Х. (1996). Алгебра і тригонометрія з аналітичною геометрією. Освіта Пірсона.
3. Лофрет, Е. Г. (2002). Книга таблиць і формул / Книга таблиць та формул множення. Уявитель.
4. Палмер, С. І., і Бібб, С. Ф. (1979). Практична математика: арифметика, алгебра, геометрія, тригонометрія і правило слайдів (передрук. ред.). Реверте.
5. Posamentier, A.S., & Bannister, R. L. (2014). Геометрія, її елементи та структура: друге видання. Кур'єрська корпорація.
6. Quintero, A.H., & Costas, N. (1994). Геометрія. Редакція, УНР.
7. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Геометрії. Редакція Tecnologica de CR.
8. Тора, Ф. Б. (2013). Математика Перша дидактична одиниця ESO, том 1. Редакційний клуб університету.
9. Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (s.f.). Математика (шостий рік). EUNED.