Поділитися:
Скільки рішень має квадратичне рівняння?
Квадратичне рівняння або рівняння другого ступеня можуть мати нульове, одне або два реальних рішення, залежно від коефіцієнтів, що з'являються в згаданому рівнянні.
Якщо ви працюєте над комплексними числами, то можна сказати, що кожне квадратичне рівняння має два рішення.
Для початку квадратичного рівняння використовується рівняння виду ax² + bx + c = 0, де a, b і c є дійсними числами, а x є змінною.
Говорять, що x1 є рішенням попереднього квадратичного рівняння, якщо заміна x на x1 задовольняє рівняння, тобто, якщо a (x1) ² + b (x1) + c = 0.
Якщо у вас, наприклад, рівняння x²-4x + 4 = 0, то x1 = 2 є рішенням, оскільки (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.
Навпаки, якщо замінити x2 = 0, то отримаємо (0) ²-4 (0) + 4 = 4, а як 4 then 0, то x2 = 0 не є рішенням квадратичного рівняння..
Рішення квадратичного рівняння
Число розв'язків квадратичного рівняння можна розділити на два випадки:
1.- У реальних числах
При роботі з дійсними числами квадратичні рівняння можуть мати:
-Нульові рішення: тобто, немає дійсного числа, яке задовольняє квадратичне рівняння. Наприклад, рівняння, задане рівнянням x² + 1 = 0, не має такого дійсного числа, яке б задовольняло це рівняння, оскільки обидва x² більше або дорівнюють нулю і 1 більше суворим, ніж нуль, так що його сума буде більшою. Суворіше, що нуль.
-Повторне рішення: є єдине реальне значення, яке задовольняє квадратичне рівняння. Наприклад, єдиним рішенням рівняння x²-4x + 4 = 0 є x1 = 2.
-Два різних рішення: існують два значення, які задовольняють квадратичне рівняння. Наприклад, x² + x-2 = 0 має два різних рішення, які є x1 = 1 і x2 = -2.
2.- У складних числах
При роботі з комплексними числами квадратичні рівняння завжди мають два рішення, які є z1 і z2, де z2 є сполученою z1. Крім того, їх можна класифікувати за:
-Комплекси: рішення мають вигляд z = p ± qi, де p і q - дійсні числа. Цей випадок відповідає першому випадку попереднього списку.
-Чисті комплекси: коли реальна частина рішення дорівнює нулю, тобто рішення має вигляд z = ± qi, де q - дійсне число. Цей випадок відповідає першому випадку попереднього списку.
-Комплекси з уявною частиною дорівнюють нулю: це коли складна частина рішення дорівнює нулю, тобто рішення є дійсним числом. Цей випадок відповідає останнім двом випадкам попереднього списку.
Як розраховуються рішення квадратичного рівняння??
Для обчислення розв'язків квадратичного рівняння використовується формула, відома як "резольвер", яка говорить, що рішення рівняння ax² + bx + c = 0 задаються виразом наступного зображення:
Величина, що з'являється всередині квадратного кореня, називається дискримінантами квадратичного рівняння і позначається літерою "d".
Квадратичне рівняння буде мати:
-Дві реальні рішення, якщо, і тільки якщо, d> 0.
-Реальне рішення повторюється, якщо і тільки якщо, d = 0.
-Нульові реальні рішення (або два комплексних рішення), якщо і тільки якщо, d<0.
Приклади:
-Розв'язки рівняння x² + x-2 = 0 задаються:
-Рівняння x²-4x + 4 = 0 має повторне рішення, яке задається:
-Рішення рівняння x² + 1 = 0 задаються:
Як ви можете бачити в цьому останньому прикладі, x2 є кон'югатом x1.
Список літератури
- Джерела, А. (2016). ОСНОВНА МАТЕМАТИКА. Вступ до розрахунку. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Математика: квадратичні рівняння.: Як вирішити квадратичне рівняння. Маріль Гаро.
- Haeussler, Е. F., & Paul, R. S. (2003). Математика для управління та економіки. Освіта Пірсона.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕР. Поріг.
- Preciado, C. T. (2005). Курс математики 3о. Редакція Progreso.
- Рок, М. М. (2006). Алгебра Я Легка! Так легко. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Алгебра і тригонометрія. Освіта Пірсона.