Алгебраїчні похідні (з прикладами)

The алгебраїчні похідні вони полягають у дослідженні похідної в окремому випадку алгебраїчних функцій. Походження поняття похідної походить від Стародавньої Греції. Розвиток цього поняття мотивувався необхідністю вирішення двох важливих завдань: одного - фізики, іншого - математики.

У фізиці похідна вирішує задачу визначення миттєвої швидкості рухомого об'єкта. У математиці можна знайти дотичну лінію до кривої в заданій точці.

Хоча насправді є ще багато проблем, які вирішуються за допомогою похідної, а також її узагальнень, результатів, що з'явилися після введення її концепції.

Піонерами диференціального числення є Ньютон і Лейбніц. Перш ніж дати формальне визначення, ми будемо розвивати ідею, з математичної та фізичної точок зору.

Індекс

• 1 Похідна як нахил дотичної лінії до кривої
• 2 Похідна як миттєва швидкість рухомого об'єкта
  • 2.1 Алгебраїчна функція
• 3 Правила деривації
  • 3.1 Похідне від постійної
  • 3.2 Похідна потужності
  • 3.3 Похідне від складання та віднімання
  • 3.4 Похідне продукту
  • 3.5 Похідні від частки
  • 3.6 Правило ланцюжка
• 4 Посилання

Похідна як нахил дотичної лінії до кривої

Припустимо, що графік функції y = f (x) є безперервним графом (без піків або вершин або роз'єднань), а A = (a, f (a)) є фіксованою точкою на ньому. Ми хочемо знайти рівняння дотичної лінії до графа функції f у точці A.

Візьміть будь-яку іншу точку P = (x, f (x)) графа, близьку до точки A, і намалюйте січну лінію, яка проходить через A і P. Сеансова лінія - це лінія, яка розрізає графік кривої в одній або більше балів.

Щоб отримати дотичну лінію, яку ми хочемо, потрібно лише обчислити нахил, тому що ми вже маємо точку на лінії: точка A.

Якщо ми перемістимо точку P вздовж графіка і наблизимо її ближче і ближче до точки A, то вищезгадана сеансова лінія наблизиться до дотичної лінії, яку ми хочемо знайти. Беручи межу, коли "P прагне до A", обидві лінії будуть збігатися, отже, і її схили.

Нахил сеансової лінії задається

Сказати, що Р підходить до А, еквівалентно твердженню, що "х" наближається до "а". Таким чином, нахил дотичної лінії до графіка f у точці A буде дорівнює:

Вищезгадане вираз позначається f '(a), і визначається як похідна функції f в точці "a". Тоді ми бачимо, що аналітично, похідна функції в точці є граничною, але геометрично, це нахил лінії, дотичної до графа функції в точці..

Тепер ми побачимо це поняття з точки зору фізики. Ми прийдемо до того ж вираження попередньої межі, хоча і іншим способом, отримавши одностайність визначення.

Похідна як миттєва швидкість рухомого об'єкта

Давайте розглянемо короткий приклад того, що означає швидка швидкість. Коли, наприклад, сказано, що автомобіль, який доїхав до пункту призначення, зробив це зі швидкістю 100 км / год, що означає, що за одну годину вона проїхала 100 км..

Це не обов'язково означає, що протягом всієї години автомобіль був завжди на відстані 100 км, спідометр автомобіля міг би в деякі моменти відзначити менше або більше. Якщо б він мав необхідність зупинятися на світлофорі, швидкість в цей момент була 0 км. Проте через годину маршрут пройшов 100 км.

Це те, що називається середньою швидкістю і задається часткою відстані, пройденої між минулим часом, як ми тільки що бачили. Миттєва швидкість, з іншого боку, це та, яка позначає голку спідометра автомобіля в мить (час).

Давайте подивимося на це зараз. Припустимо, що об'єкт рухається вздовж лінії і що це зміщення представлено за допомогою рівняння s = f (t), де змінна t вимірює час і зміну s зміщення, враховуючи його початок в момент t = 0, в цей час він також є нулем, тобто f (0) = 0.

Ця функція f (t) відома як позиційна функція.

Шукається вираз для миттєвої швидкості об'єкта у фіксований момент "a". На цій швидкості будемо позначати його V (a).

Нехай будь-який момент близький до миттєвого "a". У часовому інтервалі між "a" і "t" зміна позиції об'єкта задається f (t) -f (a).

Середня швидкість у цьому інтервалі часу:

Який є наближенням миттєвої швидкості V (a). Це наближення буде краще, оскільки t наближається до "a". Тому,

Зауважимо, що цей вираз дорівнює такому, який був отриманий у попередньому випадку, але з іншої точки зору. Це те, що називається похідною функції f в точці "a" і позначається f '(a), як зазначено вище.

Зауважимо, що, зробивши зміну h = x-a, ми маємо, що коли "x" прагне до "a", "h" прагне до 0, а попередня межа трансформується (еквівалентно) до:

Обидва вирази є еквівалентними, але іноді краще використовувати один, а не інший, залежно від випадку.

Похідна функції f потім визначається більш загально в будь-якій точці "x", що належить до її домену

Найбільш звичайною позначенням для представлення похідної функції y = f (x) є те, що ми тільки що бачили (f 'o і'). Однак іншою широко використовуваною нотацією є позначення Leibniz, яке представлено як будь-який з наступних виразів:

Зважаючи на те, що похідна по суті є межею, вона може або не може існувати, оскільки межі не завжди існують. Якщо вона існує, то сказано, що дана функція диференційована в даній точці.

Алгебраїчна функція

Алгебраїчна функція - це комбінація поліномів за допомогою сум, віднімань, продуктів, частків, потужностей і радикалів.

Поліном є виразом форми

P_n= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+... + a₂x²+ a₁x + a₀

Де n - натуральне число і всі a_i, з i = 0,1, ..., n - раціональні числа і a_n. 0 У цьому випадку говориться, що ступінь цього полінома дорівнює n.

Нижче наведено приклади алгебраїчних функцій:

Тут експоненціальні, логарифмічні та тригонометричні функції не включені. Правила виведення, які ми побачимо нижче, справедливі для функцій взагалі, але ми обмежимося і застосуємо їх у випадку алгебраїчних функцій.

Правила обходу

Виведена з постійної

Вона встановлює, що похідна константи дорівнює нулю. Тобто, якщо f (x) = c, то f '(x) = 0. Наприклад, похідна від постійної функції 2 дорівнює 0.

Похідні від влади

Якщо f (x) = xⁿ, то f '(x) = nx^n-1. Наприклад, похідна від х³ Це 3х². Внаслідок цього отримаємо, що похідна тотожної функції f (x) = x є f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Іншим прикладом є наступне: f (x) = 1 / x², то f (x) = x^-2 f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Ця властивість є також допустимими коренями, тому що коріння є раціональними силами і ви можете застосувати вищезгадане також і в тому випадку. Наприклад, похідна квадратного кореня задається

Виводиться з суми і віднімання

Якщо f і g є диференційованими функціями в x, то сума f + g також різна і що (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Аналогічно маємо, що (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Іншими словами, похідною суми (віднімання), є сума (або віднімання) похідних.

Приклад

Якщо h (x) = x²+x-1, потім

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Виведений з продукту

Якщо f і g є диференційованими функціями в x, то продукт fg також диференційований в х і виконується, що

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Як наслідок, якщо c - константа, а f - диференційована функція в x, то cf також дифференцируемо в x і (cf) '(x) = cf' (X)..

Приклад

Якщо f (x) = 3x (x²+1), потім

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3х (2х) = 3х²+3 + 6х²

= 9x²+3.

Похідні від частки

Якщо f і g диференціюються в x і g (x), 0, то f / g також диференційовано в x, і це правда

Приклад: якщо h (x) = x³/ (x²-5x), потім

h '(x) = [(x³) (x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Правило ланцюга

Це правило дозволяє вивести склад функцій. Вона встановлює наступне: якщо y = f (u) диференційований у u, yu = g (x) диференційований у x, то складна функція f (g (x)) диференційована в x, і вона задовольняється тим, що [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Тобто похідна складової функції є продуктом похідної зовнішньої функції (зовнішньої похідної) похідною внутрішньої функції (внутрішньої похідної)..

Приклад

Якщо f (x) = (x⁴-2x)³, потім

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Є також результати для обчислення похідної від зворотної функції, а також узагальнення до похідних вищого порядку. Програми великі. Серед них виділяють свої утиліти в задачах оптимізації і максимуму і мінімуму функцій.

Список літератури

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Диференціальний розрахунок. ITM.
2. Кабрера, В. М. (1997). Розрахунок 4000. Редакція Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Математика до розрахунку. Університет Медельіна.
4. Едуардо, Н. А. (2003). Вступ до розрахунку. Порогові видання.
5. Джерела, А. (2016). ОСНОВНА МАТЕМАТИКА. Вступ до розрахунку. Lulu.com.
6. Purcell, E.J., Rigdon, S.E., & Varberg, D.E. (2007). Розрахунок. Освіта Пірсона.
7. Saenz, J. (2005). Диференціальний розрахунок (Друга редакція). Баркісімето: Гіпотенуза.
8. Томас, Г. Б., і Вейр, М. Д. (2006). Розрахунок: кілька змінних. Освіта Пірсона.