Послідовні похідні (із розв'язаними вправами)

The послідовні похідні є похідними функції після другої похідної. Процес обчислення послідовних похідних виглядає наступним чином: ми маємо функцію f, яку ми можемо вивести і одержавши похідну функцію f '. До цієї похідної f можна вивести її знову, отримавши (f ')'.

Ця нова функція називається другою похідною; всі похідні, обчислені з другого, є послідовними; Ці, які ще називаються більш високим порядком, мають великі додатки, такі як надання інформації про графік функції, другий похідний тест для відносних екстремумів і визначення нескінченних рядів..

Індекс

• 1 Визначення
  • 1.1 Приклад 1
  • 1.2 Приклад 2
• 2 Швидкість і прискорення
  • 2.1 Приклад 1
  • 2.2 Приклад 2
• 3 Програми
  • 3.1
  • 3.2 Приклад
  • 3.3
  • 3.4 Приклад
  • 3.5 Ряд Тейлора
  • 3.6 Приклад
• 4 Посилання

Визначення

Використовуючи позначення Лейбніца, ми маємо, що похідна функції "і" по відношенню до "x" є dy / dx. Щоб висловити другу похідну від "і", використовуючи позначення Лейбніца, запишемо наступним чином:

Взагалі, послідовні похідні можна виразити наступним чином за допомогою позначення Лейбніца, де n порядок похідної.

Інші використані нижче позначення:

Деякі приклади, коли ми бачимо різні позначення:

Приклад 1

Отримати всі похідні функції f, визначені:

Використовуючи звичайні методи виведення, ми маємо, що похідна від f:

Повторюючи цей процес, можна отримати другу похідну, третю похідну і так далі.

Зауважимо, що четверта похідна дорівнює нулю і похідна нуля дорівнює нулю, тому ми повинні:

Приклад 2

Розрахувати четверту похідну наступної функції:

Виводячи задану функцію, ми маємо в результаті:

Швидкість і прискорення

Однією з мотивів, що призвели до відкриття похідної, було пошук визначення миттєвої швидкості. Формальне визначення наступне:

Нехай y = f (t) - функція, граф якої описує траєкторію частинки в момент t, тоді його швидкість в момент t задається:

Як тільки отримана швидкість частинки, можна розрахувати миттєве прискорення, яке визначається наступним чином:

Миттєве прискорення частки, шлях якої задається y = f (t):

Приклад 1

Частинка рухається по лінії відповідно до функції позиції:

Де "y" вимірюється в метрах і "t" в секундах.

- У яку мить ваша швидкість дорівнює 0?

- У яку мить ваше прискорення дорівнює 0?

При виведенні функції позиції "і" ми маємо, що її швидкість і прискорення задаються відповідно:

Для того, щоб відповісти на перше питання, досить визначити, коли функція v стає нульовою; це:

Ми аналогічно переходимо до наступного питання:

Приклад 2

Частинка рухається по лінії згідно з наступним рівнянням руху:

Визначте "t, y" і "v", коли a = 0.

Знаючи, що швидкість і прискорення даються

Переходимо до отримання та отримання:

Роблячи a = 0, ми маємо:

З яких можна зробити висновок, що значення t для a дорівнює нулю t = 1.

Тоді, оцінюючи функцію позиції і функцію швидкості при t = 1, ми повинні:

Програми

Mplified виведення

Послідовні похідні також можуть бути отримані шляхом неявного виведення.

Приклад

Враховуючи наступний еліпс, знайдіть "і":

Виводячи неявно по відношенню до x, маємо:

Потім, повторно виводячи неявно по відношенню до x, це дає нам:

Нарешті, ми маємо:

Відносні кінці

Інше використання, яке ми можемо надати похідним другого порядку, є в обчисленні відносних кінців функції.

Критерій першої похідної для локальних екстремумів говорить нам, що, якщо ми маємо функцію f безперервну в діапазоні (a, b) і існує c, що належить до такого інтервалу, то f 'анулюється в c (тобто c \ t є критичною точкою), один з цих трьох випадків може мати місце:

- Якщо f '(x)> 0 для будь-якого x, що належить до (a, c) і f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Якщо f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 для x, що належать до (c, b), то f (c) є локальним мінімумом.

- Якщо f (x) має однаковий знак у (a, c) та у (c, b), то це означає, що f (c) не є локальною кінцевою точкою..

Використовуючи критерій другої похідної, ми можемо знати, чи є критична кількість функції максимальним або локальним мінімумом, не бачачи, що є ознакою функції у вищезазначених інтервалах..

Критерій другого виведення говорить нам, що якщо f '(c) = 0 і що f "(x) безперервне в (a, b), то буває, що якщо f" (c)> 0, то f (c) є місцевий мінімум і якщо f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Якщо f "(c) = 0, то не можна нічого зробити.

Приклад

З урахуванням функції f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², знайдемо відносні максимуми і мінімуми f, застосовуючи критерій другої похідної.

Спочатку обчислимо f '(x) і f "(x) і маємо:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Тепер, f '(x) = 0 якщо і тільки якщо 4x (x + 2) (x - 1) = 0, і це відбувається, коли x = 0, x = 1 або x = - 2.

Визначити, чи отримані критичні числа є відносними екстремалами, досить оцінити в f »і таким чином спостерігати його знак.

f "(0) = - 8, так що f (0) - локальний максимум.

f "(1) = 12, так що f (1) є локальним мінімумом.

f "(- 2) = 24, так що f (- 2) є локальним мінімумом.

Серія Тейлора

Нехай f - функція, визначена таким чином:

Ця функція має радіус збіжності R> 0 і має похідні всіх порядків у (-R, R). Послідовні похідні f дають нам:

Взявши x = 0, можна отримати значення c_n на основі його похідних:

Якщо прийняти n = 0 як функцію f (тобто f ^ 0 = f), то можна переписати функцію наступним чином:

Тепер розглянемо функцію як ряд повноважень у x = a:

Якщо ми виконаємо аналогічний аналіз з попереднім, нам доведеться написати функцію f як:

Ці серії відомі як ряди Тейлора f в a. При a = 0 маємо конкретний випадок, який називається рядком Маклорена. Цей тип рядів має велике математичне значення, особливо в чисельному аналізі, оскільки завдяки цьому ми можемо визначити функції в таких комп'ютерах, як^x , sin (x) і cos (x).

Приклад

Отримати серію Маклорена для e^x.

Зауважимо, що якщо f (x) = e^x, потім f⁽ⁿ⁾(x) = e^x f⁽ⁿ⁾(0) = 1, тому його серія Маклоріна:

Список літератури

1. Френк Айрес, Дж., І Мендельсон, Е. (с.ф.). Розрахунок 5ed. Mc Graw Hill.
2. Лейтольд, Л. (1992). РОЗРАХУНОК з аналітичною геометрією. HARLA, S.A..
3. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Розрахунок. Мексика: Освіта Пірсона.
4. Saenz, J. (2005). Диференціальний розрахунок. Гіпотенуза.
5. Saenz, J. (s.f.). Комплексне числення. Гіпотенуза.