Додатки адитивної декомпозиції, розділи, графіка



The адитивне розкладання позитивного цілого числа - це виразити його як суму двох чи більше позитивних чисел. Отже, маємо, що число 5 може бути виражено як 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 або 5 = 1 + 2 + 2. Кожен з цих способів написання числа 5 будемо називати адитивним розкладанням.

Якщо звернути увагу, можна побачити, що вирази 5 = 2 + 3 і 5 = 3 + 2 являють собою однаковий склад; обидва мають однакові номери. Проте, просто для зручності, кожна з добавок зазвичай записується за критерієм найменшого до найвищого.

Індекс

  • 1 Адитивне розкладання
  • 2 канонічна адитивна декомпозиція
  • 3 Програми
    • 3.1 Приклад теореми
  • 4 Перегородки
    • 4.1 Визначення
  • 5 Графіка
  • 6 Посилання

Адитивне розкладання

В якості іншого прикладу можна взяти число 27, яке ми можемо виразити як:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Адитивна декомпозиція є дуже корисним інструментом, що дозволяє нам посилити наші знання про системи нумерації.

Адитивне канонічне розкладання

Коли ми маємо цифри більше двох цифр, то особливий спосіб їх розкладання лежить у кратних 10, 100, 1000, 10 000 і т.д., які складають його. Цей спосіб запису будь-якого числа називається канонічним адитивним розкладанням. Наприклад, число 1456 може бути розбито наступним чином:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Якщо ми маємо число 20 846 295, його канонічна адитивна декомпозиція буде:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Завдяки цій декомпозиції ми бачимо, що значення даної цифри задається позицією, яку вона займає. Візьмемо цифри 24 і 42 як приклад:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Тут можна помітити, що в 24 2 має значення 20 одиниць, а 4 - 4 одиниці; З іншого боку, у 42 4 має значення 40 одиниць і 2 з двох одиниць. Таким чином, хоча обидва числа використовують однакові цифри, їх значення повністю відрізняються від позиції, яку вони займають.

Програми

Одна з додатків, яку ми можемо надати адитивній декомпозиції, - це певний тип демонстрацій, в якому дуже корисно бачити позитивне ціле число як суму інших..

Приклад теореми

Візьмемо за приклад наступну теорему з її відповідними демонстраціями.

- Нехай Z є 4-значним цілим числом, тоді Z ділиться на 5, якщо його число, що відповідає одиницям, дорівнює нулю або п'яти.

Демонстрація

Пам'ятайте, що таке подільність. Якщо ми маємо "a" і "b" цілі числа, то скажемо, що "a" ділить "b", якщо є ціле число "c", таке, що b = a * c.

Одне з властивостей подільності говорить нам, що якщо "a" і "b" діляться на "c", то віднімання "a-b" також ділиться на "c".

Нехай Z є 4-значним цілим числом; отже, можна записати Z як Z = ABCD.

Використовуючи канонічну адитивну декомпозицію, маємо:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Зрозуміло, що A * 1000 + B * 100 + C * 10 ділиться на 5. Для цього ми маємо, що Z ділимо на 5, якщо Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) ділиться на 5.

Але Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D і D є числом однієї фігури, тому єдиний спосіб, яким він ділиться на 5, полягає в тому, що це 0 або 5.

Отже, Z ділиться на 5, якщо D = 0 або D = 5.

Зауважимо, що якщо Z має n чисел, то доказ точно такий же, змінюється тільки те, що ми зараз запишемо Z = A1A2... An і метою було б довести, що Аn це нуль або п'ять.

Перегородки

Ми говоримо, що розділ позитивного цілого є способом, в якому ми можемо записати число як суму додатних цілих чисел.

Різниця між аддитивною декомпозицією і розділом полягає в тому, що в той час як у першому передбачається, що принаймні вона може бути розкладена на дві або більше добавок, у розділі, у якого немає цього обмеження.

Отже, ми маємо наступне:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Вищезгадані розділи 5.

Тобто ми маємо, що вся адитивна декомпозиція є розділом, але не кожен розділ обов'язково є адитивною декомпозицією..

У теорії чисел фундаментальна теорема арифметики гарантує, що кожне ціле число може бути записано однозначно як добуток родичів.

При вивченні розділів мета полягає в тому, щоб визначити, скільки способів можна написати ціле число як суму інших цілих чисел. Тому ми визначаємо функцію розбиття, як представлено нижче.

Визначення

Функція розбиття p (n) визначається як кількість способів, в яких додатне ціле число n може бути записане як сума позитивних цілих чисел..

Повертаючись до прикладу 5, ми повинні:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Таким чином, p (5) = 7.

Графіка

Як розділи, так і адитивні декомпозиції числа n можуть бути представлені геометрично. Припустимо, що ми маємо адитивне розкладання n. У цьому розкладанні присадки можуть бути розташовані так, що члени суми впорядковані від найнижчого до найвищого. Тоді варто:

n = a1 + a2 + a3 +... + ar с

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ ar.

Цю декомпозицію можна нанести наступним чином: у першому рядку позначимо1-точок, то в наступному відзначаємо2-точок, і так далі, поки ви не отримаєтеr.

Візьмемо число 23 і його наступну декомпозицію як приклад:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Ми замовляємо цю декомпозицію і маємо:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Відповідним графіком буде:

Аналогічно, якщо ми читаємо цей графік вертикально, а не горизонтально, можна отримати декомпозицію, яка може відрізнятися від попередньої. У прикладі з 23 висвітлюються наступні:

Отже, ми маємо до 23, ми також можемо написати це як:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

Список літератури

  1. G.H. Харді і Е. М. Райт. Введення в теорію чисел. Оксфорд. Clarendon Press.
  2. Наварро C. Дидактична енциклопедія 6. Редакція Santillana, S.A..
  3. Наварро C.Зв'язок з математикою 6. Редакція Santillana, S.A..
  4. Niven & Zuckerman. Введення в теорію чисел. Вапно.
  5. VV.AA Оцінка Критерій математичної області: модель для початкової освіти. Wolters Kluwer Освіта.
  6. Дидактична енциклопедія 6.