Випадки і приклади часткових фракцій



The часткові фракції вони є дробами, утвореними многочленами, в яких знаменник може бути лінійним або квадратичним поліномом і, крім того, може бути піднятий до деякої потужності. Іноді, коли ми маємо раціональні функції, дуже корисно переписати цю функцію як суму часткових дробів або простих дробів.

Це тому, що таким чином ми можемо краще маніпулювати цими функціями, особливо в тих випадках, коли необхідно інтегрувати цю програму. Раціональна функція - це просто фактор між двома многочленами і може бути правильним або неправильним.

Якщо ступінь полінома чисельника менше знаменника, то його називають власною раціональною функцією; інакше вона відома як неправильна раціональна функція.

Індекс

  • 1 Визначення
  • 2 Випадки
    • 2.1 Випадок 1
    • 2.2 Випадок 2
    • 2.3 Випадок 3
    • 2.4 Випадок 4
  • 3 Програми
    • 3.1 Комплексний розрахунок
    • 3.2 Закон масової дії
    • 3.3 Диференціальні рівняння: логістичне рівняння
  • 4 Посилання

Визначення

Коли ми маємо неправильну раціональну функцію, можна розділити многочлен чисельника між многочленом знаменника і таким чином переписати фракцію p (x) / q (x), дотримуючись алгоритму поділу як t (x) + s (x) / q (x), де t (x) - многочлен, а s (x) / q (x) - раціональна функція.

Часткова фракція - будь-яка власна функція многочленів, чий знаменник має вигляд (ax + b)n o (сокира2+ bx + c)n, якщо поліноміальна сокира2 + bx + c не має реальних коренів, а n - натуральне число.

Для того, щоб переписати раціональну функцію в часткових дробах, перше, що потрібно зробити, це оцінити знаменник q (x) як добуток лінійних та / або квадратичних факторів. Як тільки це зроблено, визначаються часткові фракції, які залежать від природи цих факторів.

Випадки

Розглянемо кілька випадків окремо.

Випадок 1

Фактори q (x) є лінійними і не повторюються. Тобто:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Там лінійний коефіцієнт не ідентичний іншому. Коли цей випадок відбудеться, ми напишемо:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Де A1,A2,..., As є константи, які потрібно знайти.

Приклад

Ми хочемо розкласти раціональну функцію на прості дроби:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Переходимо до факторизації знаменника, тобто:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Тоді:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Застосовуючи найменший загальний, можна отримати таке:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Ми хочемо отримати значення констант A, B і C, які можна знайти, замінивши коріння, які скасовують кожен з термінів. Підставляючи 0 для x, у нас є:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Підставляючи - 1 для x, у нас є:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Підставляючи - 2 для x, у нас є:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2С

C = -3/2.

Таким чином отримують значення A = -1/2, B = 2 і C = -3/2..

Існує інший метод для отримання значень A, B і C. Якщо на правій стороні рівняння x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x +) 1) x ми комбінуємо умови, у нас є:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Оскільки це рівність поліномів, то ми маємо, що коефіцієнти лівої сторони повинні бути рівними коефіцієнтам правої сторони. Це призводить до наступної системи рівнянь:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

При вирішенні цієї системи рівнянь отримаємо результати A = -1/2, B = 2 і C = -3/2.

Нарешті, замінивши отримані значення, потрібно:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Випадок 2

Фактори q (x) є лінійними, а деякі повторюються. Припустимо, що (ax + b) - це коефіцієнт, який повторюється "s" раз; тоді до цього коефіцієнта відповідають суми "s" часткових часток.

As/ (ax + b)s + As-1/ (ax + b)s-1 +... + A1/ (ax + b).

Де As,As-1,..., A1 вони є константами, які необхідно визначити. У наступному прикладі ми покажемо, як визначити ці константи.

Приклад

Розкладаємо на часткові частки:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Запишемо раціональну функцію як суму часткових часток наступним чином:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

Тоді:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Підставляючи 2 для x, ми повинні:

7 = 4C, тобто C = 7/4.

Підставляючи 0 для x, у нас є:

- 1 = -8A або A = 1/8.

Підставивши ці значення в попереднє рівняння і розвиваючись, необхідно:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + Напр2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Шляхом узгодження коефіцієнтів отримуємо таку систему рівнянь:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Вирішуючи систему, ми маємо:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Через це ми повинні:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Випадок 3

Фактори q (x) є квадратичними лінійними, без будь-якого квадратичного фактора, що повторюється. Для цього випадку квадратичний фактор (сокира2 + bx + c) відповідає частковій фракції (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), де константи A та B є тими, які потрібно визначити.

Наступний приклад показує, як діяти в цьому випадку

Приклад

Розкладаємо на прості дроби a (x + 1) / (x3 - 1).

Спочатку переходимо до фактора знаменника, який дає нам в результаті:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Ми можемо бачити, що (x2 + x + 1) - неприводимий квадратичний поліном; тобто не має реальних коренів. Його розкладання на часткові фракції буде наступним:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

З цього виходить наступне рівняння:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Використовуючи рівність поліномів, отримаємо таку систему:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

З цієї системи ми маємо A = 2/3, B = - 2/3 і C = 1/3. Підставляючи, ми повинні:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

Випадок 4

Нарешті, випадок 4 - це той, в якому коефіцієнти q (x) є лінійними і квадратичними, де деякі лінійні квадратичні фактори повторюються.

У цьому випадку так (сокиру2 + bx + c) - квадратичний коефіцієнт, який повторюється "s" раз, потім часткова частка, що відповідає коефіцієнту (ax)2 + bx + c) буде:

(A1x + B) / (сокиру2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (сокира)2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs) / (сокира)2 + bx + c)s

Де As, As-1,..., А і Вs, Bs-1,..., B - константи, які потрібно визначити.

Приклад

Ми хочемо розбити наступну раціональну функцію на часткові частки:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Як x2 - 4x + 5 - неприводимий квадратичний коефіцієнт, маємо, що його розкладання на часткові фракції задається:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x + 5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Спрощуючи та розвиваючи, ми маємо:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

З вищевикладеного ми маємо наступну систему рівнянь:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

При розв'язанні системи ми повинні:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 і E = - 3/5.

При заміні отриманих значень ми маємо:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

Програми

Комплексний розрахунок

Часткові фракції використовуються головним чином для дослідження інтегрального числення. Нижче ми побачимо деякі приклади того, як зробити інтеграли з використанням часткових дробів.

Приклад 1

Ми хочемо розрахувати інтеграл з:

Можна бачити, що знаменник q (x) = (t + 2)2(t + 1) складається з лінійних факторів, де один з цих повторів; для цього ми знаходимося у випадку 2.

Ми повинні:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Ми переписуємо рівняння і маємо:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Якщо t = - 1, ми повинні:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Якщо t = - 2, це дає нам:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Тоді, якщо t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Підставляючи значення A і C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2В

2B = - 2

З вищевикладеного ми маємо, що B = - 1.

Ми переписуємо інтеграл як:

Продовжуємо вирішувати його методом заміщення:

Це призводить до:

Приклад 2

Вирішіть наступний інтеграл:

У цьому випадку можна довести до q (x) = x2 - 4 як q (x) = (x - 2) (x + 2). Зрозуміло, ми знаходимося у випадку 1. Тому:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Вона також може бути виражена як:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Якщо x = - 2, то маємо:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

А якщо x = 2:

8 = A (4) + B (0)

А = 2

Таким чином, необхідно вирішити даний інтеграл, еквівалентний розв'язанню:

Це дає нам в результаті:

Приклад 3

Вирішіть інтеграл:

Ми маємо q (x) = 9x4 + x2 , що ми можемо враховувати в q (x) = x2(9x2 + 1).

З цього приводу ми маємо повторний лінійний коефіцієнт і квадратичний фактор; тобто у випадку 3.

Ми повинні:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Групуючи і використовуючи рівність поліномів, ми маємо:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

З цієї системи рівнянь ми повинні:

D = - 9 і C = 0

Таким чином, ми маємо:

Вирішуючи це, у нас є:

Закон масових дій

Цікаве застосування часткових фракцій, застосованих до інтегрального числення, зустрічається в хімії, точніше в законі дії маси.

Припустимо, що ми маємо дві речовини A і B, які об'єднуються і утворюють речовину C, так що похідна кількості C відносно часу пропорційна добутку величин A і B в будь-який даний момент..

Ми можемо виразити закон масової дії наступним чином:

У цьому виразі α є початковою кількістю грамів, що відповідають A і β початковій кількості грамів, що відповідає B.

Крім того, r і s являють собою кількість грамів A і B відповідно, які об'єднуються для формування r + s грамів C. Зі свого боку, x представляє кількість грамів речовини C в момент часу t, а K - постійна пропорційності. Наведене вище рівняння можна переписати як:

Внесення таких змін:

Ми маємо, що рівняння стає:

З цього виразу можна отримати:

Де yes a ≠ b, часткові фракції можуть бути використані для інтеграції.

Приклад

Візьмемо, наприклад, речовину C, яка виникає внаслідок об'єднання речовини A з B, таким чином, щоб закон мас був задоволений, коли значення a і b відповідно 8 і 6. Дайте рівняння, яке дає нам значення грамів C як функцію часу.

Підставивши значення в даний масовий закон, ми маємо:

При розділенні змінних ми маємо:

Тут 1 / (8 - x) (6 - x) можна записати у вигляді суми часткових часток наступним чином:

Таким чином, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Якщо замінити x на 6, то маємо, що B = 1/2; і підставляючи x на 8, маємо A = - 1/2.

Інтеграція частковими частками маємо:

Це дає нам в результаті:

Диференціальні рівняння: логістичне рівняння

Інше застосування, яке можна надати частковим дробам, знаходиться в логістичному диференціальному рівнянні. У простих моделях ми маємо, що темпи зростання населення пропорційні його розміру; тобто:

Цей випадок є ідеальним і вважається реалістичним доти, доки не буде достатньо ресурсів у системі для підтримки населення.

У цих ситуаціях більш доцільно думати, що існує максимальна потужність, яку ми назвемо L, яку система може витримати, і що темпи зростання пропорційні розміру населення, помноженому на наявний розмір. Цей аргумент призводить до наступного диференціального рівняння:

Цей вираз називається логістичним диференціальним рівнянням. Це сепарабельне диференціальне рівняння, яке можна вирішити методом інтеграції частковими частками.

Приклад

Прикладом може бути розгляд популяції, яка зростає згідно з наступним логістичним диференціальним рівнянням y '= 0,0004y (1000 - y), початкові дані якого становлять 400. Ми хочемо знати розмір популяції в момент часу t = 2, де t в роки.

Якщо записати a і 'з позначенням Лейбніца як функцію, що залежить від t, то ми повинні:

Інтеграл лівої сторони можна вирішити, використовуючи метод інтегрування частковими частками:

Цю останню рівність можна переписати наступним чином:

- Підставляючи y = 0, ми маємо A, що дорівнює 1/1000.

- Підставляючи y = 1000, маємо, що B дорівнює 1/1000.

З цими значеннями інтеграл залишається наступним чином:

Рішення:

Використання вихідних даних:

Під час очищення ми залишили:

Тоді маємо, що при t = 2:

На закінчення після 2 років чисельність популяції становить приблизно 597,37.

Список літератури

  1. A, R. A. (2012). Математика 1. Університет Анд. Публікації Ради.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 розв'язаних інтегралів. Національний експериментальний університет Тачіри.
  3. Лейтольд, Л. (1992). РОЗРАХУНОК з аналітичною геометрією. HARLA, S.A..
  4. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Розрахунок. Мексика: Освіта Пірсона.
  5. Saenz, J. (s.f.). Комплексне числення. Гіпотенуза.