Метод лінійної інтерполяції, розв'язані вправи

The лінійна інтерполяція є методом, що походить від загальної інтерполяції Ньютона і дозволяє апроксимувати невідоме значення, яке знаходиться між двома заданими числами; тобто, є проміжне значення. Він також застосовується до наближених функцій, де значення f_(а) f_(b) вони відомі і ви хочете знати проміжне з f_(x).

Існують різні типи інтерполяції, такі як лінійні, квадратичні, кубічні і вищі сорти, найпростішим з яких є лінійна апроксимація. Ціна, яку необхідно сплатити за допомогою лінійної інтерполяції, полягає в тому, що результат не буде таким точним, як з наближенням функцій вищих класів.

Індекс

• 1 Визначення
• 2 Метод
• 3 Вправи вирішені
  • 3.1 Вправа 1
  • 3.2 Вправа 2
• 4 Посилання

Визначення

Лінійна інтерполяція - це процес, який дозволяє вивести значення між двома чітко визначеними значеннями, які можуть бути в таблиці або в лінійному графіку.

Наприклад, якщо ви знаєте, що 3 літри молока коштують 4 долари і що 5 літрів коштують 7 доларів, але ви хочете знати, що це значення 4 літри молока, інтерпольовані, щоб визначити, що проміжне значення.

Метод

Для оцінки проміжного значення функції апроксимується функція f_(x) за допомогою прямої лінії r_(x), що означає, що функція змінюється лінійно з "x" для розтягування "x = a" і "x = b"; тобто для значення "x" в інтервалі (x₀, x₁) і (і₀, і₁), значення "y" задається лінією між точками і виражається наступним співвідношенням:

(і - і₀) ÷ (x - x₀) = (і₁ - і₀) ÷ (x₁ - x₀)

Для того щоб інтерполяція була лінійною, необхідно, щоб інтерполяційний поліном мав ступінь 1 (n = 1), так що він пристосовується до значень x₀ і x_1.

Лінійна інтерполяція заснована на подібності трикутників, так що, одержуючи геометрично з попереднього виразу, можна отримати значення "y", яке представляє невідоме значення для "x".

Таким чином потрібно:

a = tan Ɵ = (протилежна сторона₁ ÷ сусідні ноги₁) = (протилежний бік₂ ÷ сусідні ноги₂)

Висловлюється іншим способом:

(і - і₀) ÷ (x - x₀) = (і₁ - і₀) ÷ (x₁ - x₀)

Очищення "і" виразів, у вас є:

(і - і₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (і₁ - і₀)

(і - і₀) = (і₁ - і₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Таким чином, отримано загальне рівняння для лінійної інтерполяції:

y = y_{0 +} (і₁ - і₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Загалом, лінійна інтерполяція дає невелику помилку над реальним значенням істинної функції, хоча помилка мінімальна порівняно з тим, якщо ви інтуїтивно вибираєте число, близьке до того, яке ви хочете знайти..

Ця помилка виникає при спробі наблизити значення кривої до прямої лінії; для цих випадків розмір інтервалу повинен бути зменшений, щоб зробити наближення більш точним.

Для кращих результатів щодо підходу доцільно використовувати функції класу 2, 3 або навіть більш високого класу для виконання інтерполяції. У цих випадках теорема Тейлора є дуже корисним інструментом.

Вирішені вправи

Вправа 1

Кількість бактерій на одиницю об'єму, що існує в інкубації після х годин, представлена ​​в наступній таблиці. Ви хочете знати, який обсяг бактерій за час 3,5 години.

Рішення

Довідкова таблиця не встановлює значення, яке вказує кількість бактерій протягом часу 3,5 годин, але має більш високі і нижчі значення, що відповідають часу 3 і 4 години, відповідно. Таким чином:

x₀ = 3 і₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 і₁ = 135

Тепер, математичне рівняння застосовується для пошуку інтерпольованого значення, яке є наступним:

y = y_{0 +} (і₁ - і₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Потім замінюються відповідні значення:

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0,5

y = 113.

При цьому виходить, що за час 3,5 години кількість бактерій становить 113, що являє собою проміжний рівень між об'ємом бактерій, що існує в часи 3 і 4 ч. \ T.

Вправа 2

Луїс має фабрику з морозива, і він хоче зробити дослідження, щоб визначити дохід, який він мав у серпні, від витрат. Менеджер компанії робить графік, який виражає таку зв'язок, але Луїс хоче знати:

Який дохід у серпні, якщо було витрачено $ 55,000??

Рішення

Наведено графік із значеннями доходів і витрат. Луїс хоче знати, який дохід у серпні - якщо завод витрачає $ 55,000. Це значення не відображається безпосередньо на графіку, але значення вище та нижче.

Спочатку складається таблиця, з якої легко пов'язати значення:

Тепер формула інтерполяції використовується для визначення значення y

y = y_{0 +} (і₁ - і₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Потім замінюються відповідні значення:

y = 56,000 + (78,000 - 56,000) _* [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]

y = 56,000 + (22,000) _* [(10 000) ÷ (17 000)]

y = 56,000 + (22,000) _* (0,588)

y = 56,000 + 12,936

y = $ 68 936.

Якщо у серпні було виплачено 55 000 доларів, то дохід склав 68 936 доларів.

Список літератури

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра і тригонометрія з аналітичною геометрією. Освіта Пірсона.
2. Harpe, P. d. (2000). Теми в геометричній теорії груп. Університет Чикаго Пресс.
3. Hazewinkel, M. (2001). Лінійна інтерполяція », Енциклопедія математики.
4. , J. M. (1998). Елементи чисельних методів для машинобудування. UASLP.
5. , E. (2002). Хронологія інтерполяції: від давньої астрономії до сучасної обробки сигналів і зображень. Праці IEEE.
6. числовий, I. a. (2006). Ксав'є Томас, Жорді Куадрос, Лучіні Гонсалес.