Закони експонерів (з розв'язаними прикладами та вправами)

The закони показників це ті, що застосовуються до цього числа, яке вказує, скільки разів базове число повинно бути помножене на себе. Експоненти також відомі як повноваження. Потенціація - це математична операція, що складається з бази (a), експонента (m) і потужності (b), яка є результатом операції.

Експоненти зазвичай використовуються, коли використовуються дуже великі величини, оскільки вони не більше, ніж скорочення, які представляють множення тієї самої кількості певної кількості разів. Експоненти можуть бути як позитивними, так і негативними.

Індекс

• 1 Пояснення законів показників
  • 1.1 Перший закон: показник потужності, рівний 1
  • 1.2 Другий закон: показник потужності дорівнює 0
  • 1.3 Третій закон: негативний показник
  • 1.4 Четвертий закон: множення повноважень з рівною базою
  • 1.5 П'ятий закон: розподіл повноважень з рівною базою
  • 1.6. Шостий закон: множення повноважень з іншою базою
  • 1.7 Сьомий закон: поділ влади на іншу базу
  • 1.8 Восьмий закон: влада влади
  • 1.9 Дев'ятий закон: фракційний показник
• 2 Вправи вирішені
  • 2.1 Вправа 1
  • 2.2 Вправа 2
• 3 Посилання

Пояснення законів показників

Як було сказано раніше, експоненти є скороченою формою, яка представляє множення чисел самі по собі декілька разів, де експонент відноситься тільки до числа зліва. Наприклад:

2³ = 2 * 2 * 2 = 8

У цьому випадку число 2 є базою потужності, яка множиться в 3 рази, як зазначено показником, розташованим у верхньому правому куті бази. Існують різні способи зчитування виразу: 2 підняли до 3 або також 2 підняли до куба.

Експоненти також вказують, скільки разів вони можуть бути розділені, і щоб диференціювати цю операцію від множення, показник несе знак мінуса (-) перед ним (він є негативним), що означає, що показник знаходиться в знаменнику a. фракція. Наприклад:

2^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Це не слід плутати з випадком, коли база є негативною, оскільки вона буде залежати від того, чи є експонент парним або непарним, щоб визначити, чи буде потужність позитивною або негативною. Таким чином, ви повинні:

- Якщо показник рівний, потужність буде позитивною. Наприклад:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Якщо показник непарний, потужність буде негативною. Наприклад:

(-2)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Існує особливий випадок, в якому, якщо показник дорівнює 0, потужність дорівнює 1. Існує також можливість того, що база дорівнює 0; у цьому випадку, залежно від підданого, потужність буде невизначеною чи ні.

Для виконання математичних операцій з експонентами необхідно дотримуватися декількох правил або правил, що полегшують пошук рішення для цих операцій.

Перший закон: показник потужності дорівнює 1

Коли показник дорівнює 1, результатом буде однакове значення бази: a¹ = a.

Приклади

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

Другий закон: показник потужності дорівнює 0

Коли показник дорівнює 0, якщо база не є нулем, результат буде:, a⁰ = 1.

Приклади

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

Третій закон: негативний показник

Оскільки експонент є негативним, результат буде часткою, де влада буде знаменником. Наприклад, якщо m є позитивним, то a^-m = 1 / a^m.

Приклади

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-2 = 1/6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Четвертий закон: множення повноважень з рівною базою

Для множення потужностей, коли бази однакові і відрізняються від 0, база підтримується і додаються показники: a^m _* aⁿ = a^{m + n}.    

Приклади

- 4⁴_* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2^{2 + 9} = 2¹¹

П'ятий закон: розподіл повноважень з рівною базою

Щоб розділити потужності, в яких бази рівні і відрізняються від 0, база підтримується і експоненти віднімаються наступним чином:^m / aⁿ = a^m-n.    

Приклади

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

Шостий закон: множення повноважень з іншою базою

У цьому законі ми маємо протилежне тому, що виражається в четвертому; тобто, якщо існують різні бази, але з однаковими показниками, бази помножуються, і показник зберігається: a^m _* b^m = (a_*б) ^m.

Приклади

- 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

- 45¹¹_* 9¹¹ = (45 * 9)^{11 =} 405¹¹.

Іншим способом представлення цього закону є те, коли множення підвищується до сили. Таким чином, показник буде належати кожному з термінів: (a_*б)^m= a^m_* b^m.

Приклади

- (5_*8)⁴ = 5⁴_* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶_* 7⁶ = 161⁶.

Сьомий закон: поділ влади на іншу базу

Якщо існують різні бази, але з однаковими показниками, бази розбиваються, а показник зберігається: a^m / b^m = (a / b)^m.

Приклади

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5.5⁴.

Аналогічно, коли поділ підвищується до потужності, показник буде належати кожному з термінів: б) ^m = a^m / b^m.

Приклади

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

Існує випадок, коли показник є негативним. Отже, щоб бути позитивним, значення чисельника інвертується значенням знаменника таким чином:

- (a / b)^-n = (б / а)ⁿ = bⁿ / aⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

Восьмий закон: влада влади

Коли у вас є потужність, яка піднята на іншу потужність, тобто дві експоненти одночасно, база підтримується, а показники множать: (a)^m)ⁿ= a^{м *n}.

Приклади

- (8³)² = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238)¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Дев'ятий закон: фракційний показник

Якщо потужність має частку як показник, вона вирішується перетворенням її в n-й корінь, де чисельник залишається як показник, а знаменник - корінний індекс:

Вирішені вправи

Вправа 1

Розрахуйте операції між силами, які мають різні бази:

2⁴_* 4⁴ / 8².

Рішення

Застосовуючи правила показників, в чисельнику бази множимо і експоненту підтримуємо, як це:

2⁴_* 4⁴ / 8²= (2_*4)⁴ / 8²  = 8⁴ / 8²

Тепер, оскільки ми маємо однакові бази, але з різними експонентами, база підтримується і експоненти віднімаються:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Вправа 2

Обчислити операції між високими потужностями до іншої потужності:

(3²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

Рішення

Застосовуючи закони, ви повинні:

(3²)³_* (2) _* 6⁵)^-2_* (2)²)³

= 3⁶_* 2^-2_* 2^-10 _* 2⁶

= 3⁶_* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

= 3⁶ _*  2^-12_* 2⁶

= 3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* 2⁶

= (3_*2)⁶

= 6⁶

= 46,656

Список літератури

1. Aponte, G. (1998). Основи базової математики. Освіта Пірсона.
2. Corbalán, F. (1997). Математика застосовується до повсякденного життя.
3. Jiménez, J. R. (2009). Математика 1 СЕР.
4. Макс Петерс, Л. Л. (1972). Алгебра і тригонометрія.
5. Rees, P.K. (1986). Реверте.