Закони Моргана



Lочі Моргана це правила виведення, що використовуються в логіці пропозицій, які встановлюють те, що є результатом заперечення диз'юнкції і кон'юнкції пропозицій або пропозиційних змінних. Ці закони були визначені математиком Августом Де Морганом.

Закони Моргана є дуже корисним інструментом для демонстрації обґрунтованості математичних міркувань. Пізніше вони були узагальнені в рамках концепції наборів математика Джорджа Буля.

Це узагальнення, зроблене Булем, повністю еквівалентно початковим законам Моргана, але розроблено спеціально для множин, а не для пропозицій. Це узагальнення також відоме як закони Моргана.

Індекс

  • 1 Огляд логіки пропозицій
    • 1.1
    • 1.2 Пропозиції
  • 2 Закони Моргана
    • 2.1 Демонстрація
  • 3 Набори
    • 3.1 Союз, перетин і доповнення множин
  • 4 Закони Моргана для множин
  • 5 Посилання

Огляд логіки пропозицій

Перш ніж розглядати закони Моргана конкретно і як вони використовуються, зручно згадати деякі основні поняття логіки висловлювання. (Більш докладно див. Статтю логіки пропозицій).

В області математичної (або пропозиціонной) логіки висновок є висновком, який випускається з набору чи гіпотез. Цей висновок разом із згаданими передумовами породжує те, що відомо як математичне міркування.

Ця аргументація повинна бути здатною продемонструвати або заперечити; тобто не всі висновки або висновки в математичних міркуваннях є дійсними.

Порушення

Неправдивий висновок, що випускається з певних припущень, які вважаються істинними, відомий як помилка. У помилках є особливість бути аргументами, які здаються правильними, але математично вони не є.

Пропозиційна логіка відповідає за точну розробку і забезпечення методів, за допомогою яких можна без будь-якої неоднозначності перевірити чи спростувати математичні міркування; тобто вивести дійсний висновок з приміщень. Ці методи відомі як правила висновку, частиною яких є закони Моргана.

Пропозиції

Суттєвими елементами пропозиційної логіки є пропозиції. Пропозиції - це твердження, про які можна сказати, чи вони дійсні чи ні, але що вони не можуть бути істини або помилковими одночасно. Не повинно бути жодних двозначностей у цьому питанні.

Подібно до того, як числа можуть бути об'єднані за допомогою операцій складання, віднімання, множення і ділення, пропозиції можна керувати за допомогою відомої сполучної (або з'єднувальної) логічної: заперечення (¬, "no"), диз'юнкції (V). , "O"), кон'юнкція ("," і "), умовна (→," if ..., then ... ") і biconditional (↔," yes, and only if ").

Для більш загальної роботи, замість розгляду конкретних пропозицій, ми розглядаємо пропозиційні змінні, які представляють будь-які пропозиції, і зазвичай позначаються малими літерами p, q, r, s і т.д..

Формула пропозицій - це комбінація пропозиційних змінних через деяку логічну сполучну. Іншими словами, це склад пропозиційних змінних. Вони зазвичай позначаються грецькими літерами.

Кажуть, що пропозиційна формула логічно має на увазі інше, коли остання вірна кожен раз, коли перша є істинною. Це позначається:

Коли логічна імплікація між двома пропозиційними формулами є взаємною - тобто коли попередня імплікація діє і в зворотному напрямку - формули називають логічно еквівалентними, і їх позначають

Логічна еквівалентність є своєрідною рівністю між пропозиційними формулами і дозволяє замінювати одну для іншої при необхідності.

Закони Моргана

Закони Моргана складаються з двох логічних еквівалентностей між двома пропозиційними формами, а саме:

Ці закони дозволяють відокремити заперечення диз'юнкції або кон'юнкції, як заперечення залучених змінних.

Перший можна прочитати наступним чином: заперечення диз'юнкції дорівнює сполученню заперечень. А другий читається так: заперечення кон'юнкції - це диз'юнкція заперечень.

Іншими словами, заперечувати диз'юнкцію двох пропозиціонних змінних еквівалентно кон'юнкції заперечень обох змінних. Аналогічно, заперечення кон'юнкції двох пропорційних змінних еквівалентно диз'юнкції заперечень обох змінних.

Як згадувалося раніше, підміна цієї логічної еквівалентності допомагає продемонструвати важливі результати, поряд з іншими існуючими правилами виведення. За допомогою них можна спростити багато пропозиційних формул, щоб вони були більш корисними для роботи.

Нижче наведено приклад математичного доказу, що використовує правила виведення, серед законів Моргана. Зокрема, показано, що формула:

еквівалентно:

Останнє простіше зрозуміти і розвинути.

Демонстрація

Варто зазначити, що обґрунтованість законів Моргана може бути продемонстрована математично. Одним із способів є порівняння таблиць правди.

Набори

Ті ж правила виведення і поняття логіки, застосовані до пропозицій, також можуть бути розроблені з урахуванням множин. Це те, що відоме як булева алгебра, після математика Джорджа Буля.

Щоб диференціювати випадки, необхідно змінити позначення і перенести на множини, всі вже побачені поняття логіки пропозицій.

Набір являє собою набір об'єктів. Набори позначаються великими літерами A, B, C, X, ... а елементи множини позначаються малими літерами a, b, c, x і т.д. Коли елемент a належить множині X, він позначається:

Коли вона не належить до X, позначення:

Спосіб представлення наборів - розміщення їх елементів всередині ключів. Наприклад, набір натуральних чисел представлений:

Набори також можуть бути представлені без написання явного списку їх елементів. Вони можуть бути виражені у вигляді :. Два пункти читаються "такими, що". Змінна, що представляє елементи множини, розміщена ліворуч від двох точок, а властивість або умова, яку вони задовольняють, розміщуються з правого боку. Це:

Наприклад, набір цілих чисел більше -4 може бути виражений як:

Або еквівалентно, і більш скорочено, як:

Аналогічно, наступні вирази являють собою набори парних і непарних чисел, відповідно:

Союз, перетин і доповнення множин

Далі ми побачимо аналоги логічної зв'язки у випадку множин, які є частиною основних операцій між множинами.

Союз і перехрестя

Об'єднання і перетин множин визначаються відповідно таким чином:

Наприклад, розглянемо набори:

Потім потрібно:

Доповнення

Доповнення множини утворюється елементами, які не належать до цього набору (того ж типу, що і оригінал). Доповнення множини A позначається:

Наприклад, в межах натуральних чисел доповненням множини парних чисел є число непарних чисел, і навпаки.

Щоб визначити доповнення множини, з самого початку повинно бути зрозумілим універсальний або основний набір елементів, які розглядаються. Наприклад, не доцільно розглядати доповнення множини на натуральних числах на раціональних.

Наступна таблиця показує співвідношення або аналогію, що існує між операціями з раніше визначеними множинами, і сполучними з логіки пропозицій:

Закони Моргана для наборів

Нарешті, закони Моргана про набори:

У словах: доповненням об'єднання є перетин доповнення, а доповненням перетину є об'єднання доповнень.

Математичним доказом першого рівності буде наступне:

Демонстрація другого є аналогічною.

Список літератури

  1. Альмагер, Г. (2002). Математика 1. Редакція Limusa.
  2. Aylwin, C. U. (2011). Логіка, набори та цифри. Меріда - Венесуела: Рада публікацій, Universidad de Los Andes.
  3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Введення в теорію чисел. EUNED.
  4. Castañeda, S. (2016). Основний курс теорії чисел. Університет Півночі.
  5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Як розробити математичне логічне обґрунтування. Редакція університету.
  6. Гевара, М.Х. (с.ф.). Теорія чисел. EUNED.
  7. Zaragoza, A.C. (s.f.). Теорія чисел. Книги з редакційним баченням.