Математичне логічне походження, які дослідження, типи



The математична логіка або символічна логіка - це математична мова, яка включає необхідні інструменти, за допомогою яких можна затвердити чи відхилити математичні міркування.

Загальновідомо, що в математиці немає ніяких двозначностей. Враховуючи математичний аргумент, це дійсно або просто не є. Воно не може бути помилковим і істинним одночасно.

Особливий аспект математики полягає в тому, що він має формальну і сувору мову, за допомогою якої можна визначити обґрунтованість міркування. Що це робить певні міркування або будь-який математичний доказ незаперечним? Ось що таке математична логіка.

Таким чином, логіка - це дисципліна математики, яка відповідає за вивчення математичних міркувань і демонстрацій, а також надає інструменти, які дозволяють зробити висновок з попередніх заяв або пропозицій..

Для цього використовуються аксіоми та інші математичні аспекти, які будуть розроблені пізніше.

Індекс

  • 1 Походження та історія
    • 1.1 Аристотель
  • 2 Що вивчає математична логіка?
    • 2.1 Пропозиції
    • 2.2 Таблиці правди
  • 3 Види математичної логіки
    • 3.1 Райони
  • 4 Посилання

Походження та історія

Точні дати щодо багатьох аспектів математичної логіки є невизначеними. Однак більшість бібліографій на цю тему простежують походження цього до Стародавньої Греції.

Аристотель

Початок суворого ставлення до логіки приписується, зокрема, Аристотелю, який написав низку творів логіки, які пізніше були зібрані і розроблені різними філософами і вченими, аж до середньовіччя. Це можна розглядати як "стару логіку".

Потім, у так званому сучасному віці, Лейбніц, що рухається глибоким прагненням встановити універсальну мову для математичного роздуму, та інших математиків, таких як Готлоб Фреге та Джузеппе Пеано, вплинули на розвиток математичної логіки з великим внеском. серед них аксіоми Пеано, які формують неодмінні властивості натуральних чисел.

Математики Джордж Бул і Георг Кантор також мали великий вплив у цей час, з важливими внесками в теорії множин і таблицях правди, висвітлюючи, серед інших аспектів, булеву алгебру (Джорджем Буль) і аксіомою вибору (Джордж Кантор).

Існує також Август Де Морган з відомими законами Моргана, які розглядають заперечення, кон'юнкції, роз'єднання і умовні між пропозиціями, ключі для розвитку символічної логіки, і Джон Венн з відомими діаграмами Венна.

У 20-му столітті, приблизно в період між 1910 і 1913 рр., Бертран Рассел і Альфред Норт Уайтхед виділяються після публікації Principia mathematica, набір книг, що збирає, розвиває і постулює ряд аксіом і логічних результатів.

Що вивчає математична логіка?

Пропозиції

Математична логіка починається з вивчення пропозицій. Пропозиція є твердженням, що без будь-якої неоднозначності можна сказати, якщо це правда чи ні. Нижче наведено приклади пропозицій:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • У 1930 році в Європі стався землетрус.

Перше - це справжнє твердження, а друге - помилкове твердження. По-третє, хоча можливо, що людина, яка її читає, не знає, чи є це правдою або негайно, це твердження, яке можна перевірити і визначити, якщо воно дійсно відбулося чи ні.

Нижче наведено приклади виразів, які не є пропозиціями:

  • Вона блондинка.
  • 2x = 6.
  • Давайте грати!
  • Вам подобається кіно?

У першій пропозиції, не вказано, хто "вона", тому нічого не можна підтвердити. У другій пропозиції те, що представлено "x", не було вказано. Якщо замість цього було сказано, що 2x = 6 для деякого натурального числа x, то в даному випадку це буде відповідати пропозиції, насправді вірно, оскільки для x = 3 воно виконується.

Останні два твердження не відповідають пропозиції, оскільки їх неможливо заперечити або затвердити.

Два або більше пропозицій можна об'єднати (або підключити) за допомогою відомих з'єднувальних з'єднувачів (або з'єднувачів). Це:

  • Відмова: "Не йде дощ".
  • Розлучення: "Луїза купила білу або сіру сумку".
  • Поєднання: "42= 16 і 2 × 5 = 10 ".
  • Умовно: "Якщо йде дощ, то я не піду в спортзал сьогодні вдень".
  • Двобічний: "Я йду в тренажерний зал сьогодні, якщо, і тільки якщо, це не дощ".

Пропозиція, яка не має жодної з попередніх сполучних, називається простою пропозицією (або атомною). Наприклад, "2 менше 4", це просте пропозиція. Твердження, що мають деяку сполучну, називаються складеними пропозиціями, наприклад, "1 + 3 = 4 і 4 є парним числом".

Зауваження, зроблені за допомогою пропозицій, зазвичай довгі, тому писати їх завжди так важко, як ми бачили. З цієї причини використовується символьна мова. Пропозиції зазвичай представлені великими літерами, такими як P, Q, R, S, і т.д. І символічна сполучна:

Так що

The взаємні умовної пропозиції

це пропозиція

І то протидію (або протипоказання) пропозиції

це пропозиція

Таблиці правди

Іншою важливою концепцією логіки є таблиця істинності. Значення істини пропозиції є двома можливостями, які доступні для пропозиції: істина (яка буде позначена V і її істинне значення буде сказано як V) або помилкове (яке буде позначено F і його значення буде сказано) це дійсно F).

Значення істини складеного твердження залежить виключно від істинних значень простих положень, що з'являються в ньому.

Для того, щоб працювати в цілому, ми не будемо розглядати конкретні пропозиції, а пропорційні змінні p, q, r, s, і т.д., які будуть представляти будь-які пропозиції.

З допомогою цих змінних і логічних зв'язків формуються добре відомі формули пропозицій так само, як побудовані складні твердження.

Якщо кожна з змінних, що з'являються в формулі пропозицій, замінюється пропозицією, виходить складене судження.

Нижче наведені таблиці правди для логічних зв'язків:

Існують формули пропозицій, які отримують тільки значення V у своїй таблиці правди, тобто останній стовпець їх таблиці правди має тільки значення V. Цей тип формул відомий як тавтологія. Наприклад:

Нижче наведено таблицю істинності формули

Кажуть, що формула α логічно має на увазі іншу формулу β, якщо α вірно кожен раз, коли β є істинним. Тобто, у таблиці істинності α і β рядки, де α має V, β, також мають значення V. Тільки рядки, в яких α мають значення V, є цікавими. :

Наступна таблиця підсумовує властивості логічного імплікації:

Кажуть, що дві пропозиціонні формули логічно еквівалентні, якщо їхні таблиці правди ідентичні. Для вираження логічної еквівалентності використовуються наступні позначення:

Наступні таблиці узагальнюють властивості логічної еквівалентності:

Види математичної логіки

Існують різні типи логіки, особливо якщо брати до уваги прагматичну або неформальну логіку, що вказує на філософію, серед інших областей.

Що стосується математики, то типи логіки можна підсумувати таким чином:

  • Формальна або арістотелівська логіка (стародавня логіка).
  • Пропозиційна логіка: відповідає за вивчення всього, що стосується дійсності аргументів і пропозицій, використовуючи формальну мову, а також символічну.
  • Символічна логіка: орієнтована на вивчення множин та їх властивостей, також з формальною та символічною мовою, і глибоко пов'язана з логікою пропозицій.
  • Комбінаторна логіка: одна з найбільш недавно розроблених, включає результати, які можуть бути розроблені алгоритмами.
  • Логічне програмування: використовується в різних пакетах і мовах програмування.

Області

Серед областей, які використовують математичну логіку незамінним способом у розробці їх міркувань і аргументів, вони висвітлюють філософію, теорію множин, теорію чисел, конструктивну алгебраїчну математику та мови програмування..

Список літератури

  1. Aylwin, C. U. (2011). Логіка, набори та цифри. Меріда - Венесуела: Рада публікацій, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Введення в теорію чисел. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Основний курс теорії чисел. Університет Півночі.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Як розробити математичне логічне обґрунтування. Редакція університету.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Теорія чисел. Книги з редакційним баченням.