Основи алгебри вектор, величини, вектори



The векторна алгебра є галуззю математики, що відповідає за вивчення систем лінійних рівнянь, векторів, матриць, векторних просторів та їх лінійних перетворень. Це пов'язано з такими областями, як інженерія, вирішення диференціальних рівнянь, функціональний аналіз, дослідження операцій, комп'ютерна графіка, серед інших..

Ще однією областю, що прийняла лінійну алгебру, є фізика, оскільки за допомогою цього була розроблена для вивчення фізичних явищ, що описують їх за допомогою векторів. Це зробило можливим краще розуміння Всесвіту.

Індекс

  • 1 Основи
    • 1.1 Геометрично
    • 1.2 Аналітично
    • 1.3 Аксіоматично
  • 2 Величини
    • 2.1 Скалярна величина
    • 2.2 Векторна величина
  • 3 Що таке вектори?
    • 3.1 Модуль
    • 3.2 Адреса
    • 3.3 Сенс
  • 4 Класифікація векторів
    • 4.1 Фіксований вектор
    • 4.2 Безкоштовний вектор
    • 4.3 Розсувний вектор
  • 5 Властивості векторів
    • 5.1 еквіполенти Вектори
    • 5.2 Еквівалентні вектори
    • 5.3 Рівність векторів
    • 5.4 Протилежні вектори
    • 5.5 Одиничний вектор
    • 5.6 Null Вектор
  • 6 Компоненти вектора
    • 6.1 Приклади
  • 7 Операції з векторами
    • 7.1 Додавання і віднімання векторів
    • 7.2 Множення векторів
  • 8 Посилання

Основи

Векторна алгебра походить від вивчення кватерніонів (розширення дійсних чисел) 1, i, j і k, а також декартовій геометрії, яку просували Гіббс і Хевісайд, які зрозуміли, що вектори будуть служити інструментом для представляють різні фізичні явища.

Векторна алгебра вивчена через три основи:

Геометрично

Вектори представлені лініями, які мають орієнтацію, а такі операції, як додавання, віднімання та множення на дійсні числа, визначаються за допомогою геометричних методів..

Аналітично

Опис векторів і їх операцій виконується з числами, які називаються компонентами. Цей тип опису є результатом геометричного представлення, оскільки використовується система координат.

Аксіоматично

Зроблено опис векторів незалежно від системи координат або будь-якого типу геометричного представлення.

Вивчення фігур у просторі здійснюється через їх представлення в системі відліку, яка може бути в одному або декількох вимірах. Серед основних систем:

- Одновимірна система, яка є лінією, де одна точка (O) являє собою початок, а інша точка (P) визначає масштаб (довжину) і напрямок її:

- Прямокутна система координат (двовимірна), що складається з двох перпендикулярних ліній, називаних віссю x і осі у, які проходять через точкове (O) походження; таким чином площина ділиться на чотири області, які називаються квадрантами. У цьому випадку точка (P) в площині задається відстанями, які існують між осями і P.

- Полярна система координат (двовимірна). У цьому випадку система складається з точки O (походження), яка називається полюсом, а промінь з походженням O - полярною віссю. У цьому випадку точка Р площини, по відношенню до полюса і полярної осі, задається кутом (Ɵ), який утворюється відстанню між початком і точкою P.

- Прямокутна тривимірна система, утворена трьома перпендикулярними лініями (x, y, z), які мають як початок точку O в просторі. Формуються три координатні площини: xy, xz і yz; простір буде розділений на вісім областей, що називаються октантами. Посилання точки Р простору задається відстанями, які існують між площинами і Р.

Величини

Величина - це фізична величина, яка може бути підрахована або виміряна через числове значення, як у випадку деяких фізичних явищ; проте, часто необхідно описувати ці явища іншими чинниками, які не є чисельними. Тому величини поділяються на два типи:

Скалярна величина

Це ті величини, які визначені та представлені чисельно; тобто за допомогою модуля разом з одиницею вимірювання. Наприклад:

а) Час: 5 секунд.

б) Маса: 10 кг.

в) Об'єм: 40 мл.

d) Температура: 40ºC.

Векторна величина

Це ті величини, які визначені і представлені модулем разом з одиницею, а також сенсом і напрямком. Наприклад:

a) Швидкість: (5ȋ - 3ĵ) м / с.

b) Прискорення: 13 м / с2; S 45º E.

c) Сила: 280 N, 120º.

г) Вага: -40-кг-ф.

Векторні величини представлені графічно векторами.

Що таке вектори?

Вектори є графічними зображеннями величини вектора; тобто сегменти прямої лінії, в яких їх кінцевим кінцем є кінчик стріли.

Вони визначаються їх довжиною модуля або сегмента, їх сенс, який вказується кінчиком стрілки та їх напрямком відповідно до лінії, до якої вони належать. Походження вектора також називається точкою застосування.

Елементи вектора такі:

Модуль

Це відстань від початку до кінця вектора, представленого дійсним числом разом з одиницею. Наприклад:

| ОМ | = | A | = А = 6 см

Адреса

Це міра кута, що існує між віссю x (від позитивного) і вектором, а також використовуються головні точки (північ, південь, схід і захід).

Sense

Це дається стрілкою, розташованою в кінці вектора, що вказує, куди він рухається.

Класифікація векторів

Як правило, вектори класифікуються як:

Фіксований вектор

Це той, чия точка застосування (походження) фіксована; це означає, що вона залишається прив'язаною до точки простору, причиною чого вона не може бути зміщена в цьому.

Безкоштовний векторний

Він може вільно рухатися в просторі, тому що його походження рухається в будь-яку точку, не змінюючи свого модуля, сенсу або напрямку.

Розсувні вектор

Це той, який може рухати своє походження вздовж своєї лінії дії, не змінюючи свого модуля, сенсу або напрямку.

Властивості векторів

Серед основних властивостей векторів такі:

Еквіполенти векторів

Це ті вільні вектори, які мають один і той же модуль, напрямок (або вони паралельні) і відчувають, що ковзний вектор або фіксований вектор.

Еквівалентні вектори

Це відбувається, коли два вектори мають однакову адресу (або є паралельними), той самий сенс, і, незважаючи на наявність різних модулів і точок застосування, вони викликають однакові ефекти.

Рівність векторів

Вони мають однаковий модуль, напрямок і сенс, хоча їхні відправні точки різні, що дозволяє паралельному вектору рухатися самостійно, не впливаючи на нього..

Протилежні вектори

Це ті, що мають однаковий модуль і напрямок, але їхній сенс протилежний.

Векторний блок

Це той, в якому модуль дорівнює одиниці (1). Це виходить діленням вектора на його модуль і використовується для визначення напрямку і сенсу вектора, або в площині або в просторі, використовуючи базові або уніфіковані нормовані вектори, які є:

Вектор нуль

Це той, модуль якого дорівнює 0; Тобто їхня точка виникнення і крайня збігаються в одній точці.

Компоненти вектора

Компонентами вектора є значення проекцій вектора на осях системи відліку; Залежно від розкладання вектора, який може бути дво- або тривимірними осями, будуть отримані дві або три складові, відповідно.

Компоненти вектора - це реальні числа, які можуть бути позитивними, негативними або навіть нульовими (0).

Отже, якщо у нас є вектор Ā, що походить з прямокутної системи координат у площині xy (двовимірної), то проекція на осі x Āx, а проекція на вісь у .y. Таким чином, вектор буде виражатися як сума його складових векторів.

Приклади

Перший приклад

У нас є вектор Ā, який починається від початку і даються координати його кінців. Таким чином, вектор Ā = (x; Aі) = (4; 5) см.

Якщо вектор Ā діє на початку тривимірної трикутної системи координат (у просторі) x, y, z, до іншої точки (P), проекції на її осі будуть Āx, andy і ;z; таким чином, вектор буде виражений як сума трьох компонентних векторів.

Другий приклад

У нас є вектор Ā, який починається від початку і даються координати його кінців. Таким чином, вектор Ā = (Ax; Aі; Az) = (4; 6; -3) см.

Вектори, що мають свої прямокутні координати, можуть бути виражені через їхні основні вектори. Для цього тільки кожна координата повинна бути помножена на її відповідний одиничний вектор таким чином, що для площини і простору вони будуть наступними:

Для площини: Ā = Axi + Aіj.

Для простору: Ā = Axi + Aіj + Azk.

Операції з векторами

Є багато величин, які мають модуль, сенс і напрямок, такі як прискорення, швидкість, переміщення, сила, серед інших..

Вони застосовуються в різних областях науки, і для їх застосування необхідно в деяких випадках виконувати такі операції, як складання, віднімання, множення і ділення векторів і скалярів..

Додавання і віднімання векторів

Додавання і віднімання векторів розглядається як єдина алгебраїчна операція, оскільки віднімання може бути записано як сума; наприклад, віднімання векторів Ē і Ē можна виразити як:

Ē - Ē = Ā + (-Ē)

Існують різні методи для виконання складання і віднімання векторів: вони можуть бути графічними або аналітичними.

Графічні методи

Використовується, коли вектор має модуль, сенс і напрямок. Для цього малюються лінії, які утворюють фігуру, яка пізніше допомагає визначити результуючу. Серед найбільш відомих, виділяються такі:

Метод паралелограм

Для того, щоб зробити додавання або віднімання двох векторів, точка вибирається спільно по координатній осі - яка буде представляти собою точку виникнення векторів, зберігаючи її модуль, напрямок і напрямок..

Потім лінії витягуються паралельно векторам, щоб сформувати паралелограм. Отриманий вектор - діагональ, який виходить з точки виникнення обох векторів до вершини паралелограма:

Трикутний метод

У цьому методі вектори розміщуються один за іншим, підтримуючи їх модулі, напрямки та напрямки. Отриманий вектор буде об'єднанням походження першого вектора з кінцем другого вектора:

Аналітичні методи

Можна додати або відняти два або більше векторів за допомогою геометричного або векторного методу:

Геометричний метод

Коли два вектори утворюють трикутник або паралелограм, модуль і напрямок отриманого вектора можуть бути визначені за допомогою законів синусу і косинуса. Таким чином, модуль результуючого вектора, що застосовує закон косинуса і метод трикутника, задається:

У цій формулі β - кут, протилежний стороні R, що дорівнює 180º - Ɵ.

На відміну від цього, методом паралелограм отриманий векторний модуль:

Напрямок отриманого вектора задається кутом (α), який утворює результуюче з одним з векторів.

За законом синуса, додавання або віднімання векторів також може здійснюватися методом трикутника або паралелограма, знаючи, що в кожному трикутнику сторони пропорційні грудям кутів:

Векторний метод

Це можна зробити двома способами: залежно від їх прямокутних координат або їх базових векторів.

Це може бути зроблено шляхом перенесення векторів, які повинні бути додані або відняті до початку координат, а потім всі проекції на кожній з осей для площини (x, y) або простору (x, і, z); нарешті, її компоненти додаються алгебраїчно. Отже, для літака це:

Модуль результуючого вектора:

Хоча для простору це:

Модуль результуючого вектора:

При виконанні векторних сум застосовуються кілька властивостей, які є:

- Асоціативне властивість: результуючий не змінюється шляхом додавання спочатку двох векторів, а потім додавання третього вектора.

- Комутативна властивість: порядок векторів не змінює результуючого.

- Властивість векторного розподілу: якщо скаляр множиться на суму двох векторів, він дорівнює множенню скаляру для кожного вектора.

- Скалярне розподільне властивість: якщо вектор множиться на суму двох скалярів, то він дорівнює множенню вектора для кожного скаляра.

Множення векторів

Множення або добуток векторів може бути зроблено як додавання або віднімання, але при цьому він втрачає фізичний сенс і майже не зустрічається в програмах. Тому, як правило, найбільш часто використовуваними видами продукції є скалярний і векторний продукт.

Скалярний продукт

Він також відомий як крапковий продукт двох векторів. Коли модулі двох векторів множаться на косинус незначного кута, який утворюється між ними, отримують скаляр. Для розміщення скалярного продукту між двома векторами між ними розміщується точка, яка може бути визначена як:

Значення кута, що існує між двома векторами, буде залежати від того, чи є вони паралельними або перпендикулярними; Отже, ви повинні:

- Якщо вектори паралельні і мають однаковий сенс, косинус 0º = 1.

- Якщо вектори паралельні і мають протилежні почуття, косинус 180º = -1.

- Якщо вектори перпендикулярні, косинус 90º = 0.

Цей кут також можна обчислити, знаючи, що:

Скалярний продукт має такі властивості:

- Комутативна властивість: порядок векторів не змінює скаляр.

-Властивість розподілу: якщо скаляр множиться на суму двох векторів, він дорівнює множенню скаляру для кожного вектора.

Вектор продукту

Векторне множення, або перехресне твір двох векторів A і B, призведе до нового вектора C і виражається з використанням перехресного зв'язку між векторами:

Новий вектор буде мати свої особливості. Таким чином:

- Напрямок: цей новий вектор буде перпендикулярно площині, яка визначається вихідними векторами.

- Сенс: це визначається правилом правої руки, де вектор A повертається у бік B, вказуючи напрям обертання пальцями, і з великим пальцем відзначається сенс вектора..

- Модуль: визначається множенням модулів векторів AxB на синус найменшого кута, що існує між цими векторами. Він виражається:

Значення кута, що існує між двома векторами, буде залежати від того, чи вони паралельні або перпендикулярні. Потім можна підтвердити таке:

- Якщо вектори паралельні і мають однаковий сенс, sin 0º = 0.

- Якщо вектори паралельні і мають протилежні відчуття, синус 180º = 0.

- Якщо вектори перпендикулярні, синус 90º = 1.

Коли векторний продукт виражається через його базові вектори, він повинен:

Скалярний продукт має такі властивості:

- Вона не є комутативною: порядок векторів змінює скаляр.

- Властивість розподілу: якщо скаляр множиться на суму двох векторів, він дорівнює множенню скаляру для кожного вектора.

Список літератури

  1. Альтман Наомі, М. К. (2015). "Проста лінійна регресія". Методи природи .
  2. Ангел А. Р. (2007). Елементарна алгебра Освіта Пірсона,.
  3. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра і тригонометрія з аналітичною геометрією. Освіта Пірсона.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr to Vectorial в прикладах. М .: Мир.
  5. Lay, D. C. (2007). Лінійна алгебра та її застосування. Освіта Пірсона.
  6. Llinares, J. F. (2009). Лінійна алгебра: векторний простір. Евклідовий векторний простір. Університет Аліканте.
  7. Mora, J. F. (2014). Лінійна алгебра Батьківщина.