Характеристики паралелепіпеда, типи, площа, обсяг

A паралелепіпед це геометричне тіло, утворене шістьма гранями, основною ознакою яких є те, що всі їхні грані паралелограм, а також їхні протилежні сторони паралельні один одному. Це поширений багатогранник у нашому повсякденному житті, адже його можна знайти в ящиках для взуття, формі цегли, формі мікрохвильової печі тощо..

Будучи багатогранника, паралелепіпед охоплює кінцевий об'єм, а всі його грані плоскі. Вона є частиною групи призм, які є тими багатогранниками, в яких всі їхні вершини містяться в двох паралельних площинах..

Індекс

• 1 Елементи паралелепіпеда
  • 1.1 Обличчя
  • 1.2 Край
  • 1.3 Вершина
  • 1.4 Діагональ
  • 1.5 Центр
• 2 Характеристика паралелепіпеда
• 3 типи
  • 3.1 Розрахунок діагоналей
• 4 Площа
  • 4.1 Площа ортоедра
  • 4.2 Площа куба
  • 4.3 Площа ромбода
  • 4.4. Площа ромбічного
• 5 Обсяг паралелепіпеда
  • 5.1 Ідеальний паралелепіпед
• 6 Бібліографія

Елементи паралелепіпеда

Обличчя

Вони є кожною з областей, утворених паралелограмами, що обмежують паралелепіпед. Паралелепіпед має шість граней, де кожна грань має чотири суміжні грані і одну протилежну. Крім того, кожна сторона паралельна з її протилежністю.

Краї

Вони є спільною стороною двох облич. Всього паралелепіпед має дванадцять ребер.

Вершина

Це загальна точка трьох граней, що примикають один до одного два-два. Паралелепіпед має вісім вершин.

Діагональ

Враховуючи дві протилежні сторони паралелепіпеда, можна намалювати відрізок лінії, що йде від вершини однієї грані до протилежної вершини іншої.

Цей сегмент відомий як діагональ паралелепіпеда. Кожен паралелепіпед має чотири діагоналі.

Центр міста

Це точка, в якій перетинаються всі діагоналі.

Характеристика паралелепіпеда

Як ми вже згадували, це геометричне тіло має дванадцять ребер, шість граней і вісім вершин.

У паралелепіпеді можна виділити три набори, утворені чотирма ребрами, які паралельні один одному. Крім того, ребра цих наборів також виконують властивість, що має однакову довжину.

Інша властивість, якою володіють паралелепіпеди, полягає в тому, що вони є опуклими, тобто якщо ми візьмемо будь-яку пару точок, що належать до внутрішньої частини паралелепіпеда, то сегмент, визначений цією парою точок, також буде знаходитися всередині паралелепіпеда..

Крім того, паралелепіпеди, які є опуклими багатогранниками, відповідають теоремі Ейлера для багатогранників, що дає нам зв'язок між кількістю граней, числом ребер і кількістю вершин. Це співвідношення дається у вигляді наступного рівняння:

C + V = A + 2

Ця функція відома як характеристика Ейлера.

Де C - число граней, V - кількість вершин і A - кількість ребер.

Типи

Ми можемо класифікувати паралелепіпеди на їхніх обличчях у таких типах:

Ортопедичні

Це паралелепіпеди, де їхні обличчя утворені шістьма прямокутниками. Кожен прямокутник перпендикулярний тим, яким він розділяє край. Вони є найпоширенішими в нашому повсякденному житті, як звичайний спосіб коробки для взуття і цегли.

Куб або правильний шестигранник

Це окремий випадок попереднього, де кожна з граней є квадратом.

Кубик також є частиною геометричних тіл, які називаються платонічними тілами. Платонічне тверде тіло - це опуклий багатогранник, так що обидві його грані та його внутрішні кути однакові.

Romboedro

Це паралелепіпед з діамантами на обличчі. Всі ці алмази рівні між собою, оскільки вони розділяють ребра.

Romboiedro

Шість її ромбоїдів. Нагадаємо, що ромбоїд - це багатокутник з чотирма сторонами і чотирма кутами, які дорівнюють двом-два. Ромбоїди - це паралелограми, які не є ні квадратними, ні прямокутними, ні ромбами.

З іншого боку, похилі паралелепіпеди - це ті, в яких принаймні одна висота не узгоджується з її краєм. До цієї класифікації можна віднести ромбодерони і ромбічедри.

Діагональний розрахунок

Для обчислення діагоналі ортоедра можна використовувати теорему Піфагора для R³.

Нагадаємо, що ортоедр має властивість, що кожна сторона перпендикулярна сторонам, які поділяють край. З цього факту можна зробити висновок, що кожне ребро перпендикулярне тій, яка розділяє вершину.

Для обчислення довжини діагоналі ортоедра виконуємо наступне:

1. Розраховуємо діагональ однієї з граней, яку будемо ставити за основу. Для цього використовуємо теорему Піфагора. Назвіть цю діагональ d_b.

2. Потім з d_b ми можемо сформувати новий правий трикутник, такий, що гіпотенуза згаданого трикутника є шуканою діагоналлю D..

3. Ми знову використовуємо теорему Піфагора і маємо, що довжина вказаної діагоналі:

Інший спосіб розрахунку діагоналей більш графічним способом - це сума вільних векторів.

Нагадаємо, що два вільних вектора A і B додаються шляхом розміщення хвоста вектора B кінчиком вектора A.

Вектор (A + B) - це той, який починається з хвоста A і закінчується на кінці B.

Розглянемо паралелепіпед, до якого ми хочемо обчислити діагональ.

Ми ідентифікуємо ребра з зручно орієнтованими векторами.

Потім додаємо ці вектори і отриманий вектор буде діагональ паралелепіпеда.

Площа

Площа паралелепіпеда задається сумою кожної з областей їхніх граней.

Якщо визначити одну з сторін як основу,

A_L + 2A_B = Загальна площа

Де A_L дорівнює сумі областей всіх сторін, суміжних з базою, званих бічною областю і A_B є базовою областю.

Залежно від типу паралелепіпеда, з яким ми працюємо, ми можемо переписати цю формулу.

Площа ортоедра

Це дається формулою

A = 2 (ab + bc + ca).

Приклад 1

Враховуючи наступний ортоедр, зі сторонами a = 6 см, b = 8 см і c = 10 см, розрахуйте площу паралелепіпеда і довжину його діагоналі.

Використовуючи формулу для площі ортоедра, ми повинні

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 см².

Зауважимо, що оскільки вона є ортоедром, то довжина будь-якої з чотирьох її діагоналей однакова.

Використовуючи теорему Піфагора для простору, ми повинні

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Площа куба

Оскільки кожне ребро має однакову довжину, то a = b і a = c. Підставляючи в попередню формулу, ми маємо

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Приклад 2

Коробка ігрової консолі має форму куба. Якщо ми хочемо обернути цю коробку подарунковим папером, скільки паперу ми будемо витрачати, знаючи, що довжина країв куба дорівнює 45 см?

Використовуючи формулу кубічної області, отримаємо це

A = 6 (45 см)² = 6 (2025 см²= 12150 cm²

Площа ромбода

Оскільки всі їхні обличчя однакові, досить обчислити площу однієї з них і помножити її на шість.

Ми можемо розрахувати площу алмазу, використовуючи його діагоналі з наступною формулою

A_R = (Dd) / 2

Використовуючи цю формулу, випливає, що загальна площа ромбодера становить

A_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Приклад 3

Грані наступного ромбоедра формуються ромбом, діагоналі якого D = 7 см і d = 4 см. Ваша область буде

A = 3 (7 см) (4 см) = 84 см².

Площа ромбічного

Щоб розрахувати площу ромбічного, необхідно обчислити площу ромбоїдів, які її складають. Оскільки паралелепіпеди дотримуються властивості, що протилежні сторони мають однакову область, ми можемо асоціювати сторони в три пари.

Таким чином ми маємо, що ваша територія буде

A_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Де b_i є основи, пов'язані з сторонами і_i його відносна висота, що відповідає зазначеним основам.

Приклад 4

Розглянемо наступний паралелепіпед,

де сторона A і сторона A '(її протилежна сторона) мають в якості основи b = 10, а для висоти h = 6.

A₁ = 2 (10) (6) = 120

B і B 'мають b = 4 і h = 6, то

A₂ = 2 (4) (6) = 48

А C і C 'мають b = 10 і h = 5, так

A₃ = 2 (10) (5) = 100

Нарешті, область ромбодерів

А = 120 + 48 + 100 = 268.

Обсяг паралелепіпеда

Формула, яка дає нам об'єм паралелепіпеда, є добуток площі однієї з його граней висотою, що відповідає вказаній границі.

V = A_Ch_C

Залежно від типу паралелепіпеда зазначена формула може бути спрощена.

Таким чином, ми маємо, наприклад, що обсяг ортогедра буде заданий

V = abc.

Де a, b і c являють собою довжину ребер ортоедра.

А в окремому випадку куб є

V = a³

Приклад 1

Існує три різні моделі для блоків файлів cookie, і ви хочете знати, в якій з цих моделей можна зберігати більше файлів cookie, тобто, який з цих полів має найбільший обсяг.

Перший - це куб, ребро якого має довжину a = 10 cm

Його обсяг буде V = 1000 см³

Другий має ребра b = 17 см, c = 5 см, d = 9 см

А тому його об'єм V = 765 см³

Третій має е = 9 см, f = 9 см і g = 13 см

А його об'єм V = 1053 см³

Тому коробка з найбільшим обсягом є третьою.

Інший метод отримання обсягу паралелепіпеда полягає в тому, щоб вдатися до векторної алгебри. Зокрема, потрійний скалярний продукт.

Однією з геометричних інтерпретацій, що має потрійний скалярний продукт, є об'єм паралелепіпеда, ребер якого є трьома векторами, які мають однакову вершину як початкову точку..

Таким чином, якщо ми маємо паралелепіпед і хочемо знати, який його об'єм, достатньо представити його в системі координат в R³ зіставлення однієї з її вершин з походженням.

Тоді ми представляємо ребра, що збігаються по походженню з векторами, як показано на малюнку.

І таким чином ми маємо, що обсяг згаданого паралелепіпеда дається

V = | AxB ∙ C |

Або еквівалентно об'єм є визначником матриці 3 × 3, утвореної компонентами крайових векторів.

Приклад 2

Представляючи наступний паралелепіпед в R³ ми можемо бачити, що вектори, які визначають її, є наступними

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) і w = (-0.25, -4, 4)

Використання потрійного скалярного продукту

V = | (uxv) | w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) = w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

З цього ми робимо висновок, що V = 60

Тепер розглянемо наступний паралелепіпед в R3, ребра якого визначаються векторами

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) і C = (3, 4, 4)

Використання детермінант дає нам це

Таким чином, ми маємо, що обсяг згаданого паралелепіпеда дорівнює 112.

Обидва еквівалентні способи обчислення обсягу.

Ідеальний паралелепіпед

Він відомий як цегла Ейлера (або блоку Ейлера) до ортоедра, який виконує властивість того, що довжина його ребер і довжина діагоналей кожного з його граней цілі числа.

Хоча Ейлер не був першим вченим, який вивчав ортоедрони, що відповідають цій властивості, він знайшов цікаві результати про них..

Меншу цеглу Ейлера виявив Пол Халке, а довжина його країв a = 44, b = 117 і c = 240.

Відкрита проблема в теорії чисел полягає в наступному

Чи є ідеальні ортоедрони?

На даний момент на це питання не можна було відповісти, оскільки не вдалося довести, що цих органів не існує, але не знайдено жодного.

До цих пір було показано, що ідеальні паралелепіпеди існують. Перше, що буде виявлено, має довжину його ребер значенням 103, 106 і 271.

Бібліографія

1. Гай, Р. (1981). Невирішені проблеми в теорії чисел. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Геометрія. Прогрес.
3. Лейтольд, Л. (1992). РОЗРАХУНОК з аналітичною геометрією. HARLA, S.A..
4. Рендон, А. (2004). Технічний малюнок: Робоча книга 3 2-й бакалавр . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Фізика т. 1. Мексика: континентальний.