Визначення, характеристики та приклади розрахунку гексагональної піраміди



Перший гексагональна піраміда являє собою багатогранник, утворений шестикутником, який є базовим, і шість трикутників, які починаються від вершин шестикутника і збігаються в точці поза площини, яка містить підставу. У цій точці збігу вона відома як вершина або вершина піраміди.

Багатогранник являє собою замкнуте тривимірне геометричне тіло, грані якого є плоскими фігурами. Шестикутник - це замкнута плоска фігура (багатокутник), утворена шістьма сторонами. Якщо шість сторін мають однакову довжину і утворюють рівні кути, то кажуть, що вона є регулярною; інакше вона нерегулярна.

Індекс

  • 1 Визначення
  • 2 Характеристики
    • 2.1 Увігнута або опукла
    • 2.2 Край
    • 2.3 Апотема
    • 2,4 Позначає
  • 3 Як розрахувати площу? Формули
    • 3.1 Розрахунок нерегулярних гексагональних пірамід
  • 4 Як розрахувати обсяг? Формули
    • 4.1 Розрахунок нерегулярних гексагональних пірамід
  • 5 Приклад
    • 5.1 Рішення
  • 6 Посилання

Визначення

Гексагональна піраміда містить сім граней, основу і шість бічних трикутників, основою яких є тільки одна, яка не торкається вершини.

Кажуть, що піраміда пряма, якщо всі бічні трикутники є рівнобедреними. У цьому випадку висота піраміди - це відрізок, що йде від вершини до центру шестикутника.

Загалом, висота піраміди - це відстань між вершиною і площиною бази. Кажуть, що піраміда є косою, якщо не всі бічні трикутники є рівнобедреними.

Якщо шестикутник регулярний, а піраміда також пряма, то це, як кажуть, регулярна гексагональна піраміда. Аналогічно, якщо шестикутник нерівномірний або піраміда косою, вона називається неправильною гексагональною пірамідою..

Особливості

Увігнуті або опуклі

Багатокутник опуклий, якщо міра всіх внутрішніх кутів менше 180 градусів. Геометрично це рівнозначно тому, що, враховуючи пару точок всередині багатокутника, відрізок лінії, що їх об'єднує, міститься в полігоні. Інакше кажуть, що багатокутник увігнутий.

Якщо шестикутник опуклий, то сказано, що піраміда - це гексагональна опукла піраміда. Інакше буде сказано, що це увігнута гексагональна піраміда.

Краї

Краї піраміди є сторонами шести трикутників, які складають її.

Апотема

Апотемом піраміди є відстань між вершиною і сторонами підстави піраміди. Це визначення має сенс тільки тоді, коли піраміда є регулярною, тому що якщо вона нерегулярна, ця відстань змінюється в залежності від розглянутого трикутника.

Навпаки, в регулярних пірамідах апотем відповідає висоті кожного трикутника (оскільки кожний є рівнобедреним) і буде однаковим у всіх трикутниках.

Апотема підстави - це відстань між однією з сторін підстави і її центром. До речі, це визначено, апотема бази має сенс тільки в регулярних пірамід.

Позначає

Висота гексагональної піраміди буде позначена h, апотема бази (у звичайному випадку) APb і апотема піраміди (також у звичайному випадку) AP.

Характерною рисою регулярних гексагональних пірамід є те h, APb і AP формують правий трикутник гіпотенузи AP і ноги h і APb. За теоремою Піфагора треба AP = √ (h^ 2 + APb ^ 2).

Попереднє зображення являє собою звичайну піраміду.

Як розрахувати площу? Формули

Розглянемо звичайну гексагональну піраміду. Будьте пристосовані до кожної сторони шестикутника. Тоді А відповідає мірі підстави кожного трикутника піраміди і, отже, країв основи.

Площа багатокутника є продуктом периметра (суми сторін) апотемом бази, розділеного на два. У випадку шестикутника це було б 3 * A * APb.

Можна спостерігати, що площа правильної гексагональної піраміди дорівнює шестикратній площі кожного трикутника піраміди, а також площі підстави. Як згадувалося раніше, висота кожного трикутника відповідає апотемі піраміди, AP.

Отже, площа кожного трикутника піраміди задається A * AP / 2. Таким чином, площа регулярної гексагональної піраміди становить 3 * A * (APb + AP), де A - край бази, APb - апотема бази і AP апотема піраміди.

Розрахунок у нерегулярних гексагональних пірамід

У випадку неправильної гексагональної піраміди немає прямої формули для обчислення площі, як у попередньому випадку. Це відбувається тому, що кожен трикутник піраміди буде мати іншу область.

У цьому випадку площа кожного трикутника повинна бути обчислена окремо і площа бази. Тоді площа піраміди буде сумою всіх обчислених раніше областей.

Як розрахувати обсяг? Формули

Обсяг піраміди правильної гексагональної форми є продуктом висоти піраміди за площею бази між трьома. Таким чином, обсяг регулярної гексагональної піраміди задається A * APb * h, де A - край бази, APb - апотема бази, h - висота піраміди.

Розрахунок у нерегулярних гексагональних пірамід

Аналогічно області, у випадку неправильної гексагональної піраміди не існує прямої формули для обчислення обсягу, оскільки ребра бази не мають однакової міри, оскільки це нерегулярний багатокутник..

У цьому випадку область бази повинна бути розрахована окремо, а обсяг буде (h * Base area) / 3.

Приклад

Розрахуйте площу і обсяг регулярної гексагональної піраміди висотою 3 см, підставою якої є правильний шестикутник 2 см з кожної сторони і апотема основи 4 см..

Рішення

Спочатку треба обчислити апофему піраміди (AP), яка є лише відсутніми даними. Дивлячись на зображення вище, можна побачити, що висота піраміди (3 см) і апотема підстави (4 см) утворюють правильний трикутник; тому для розрахунку апотему піраміди ми використовуємо теорему Піфагора:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Таким чином, використовуючи формулу, написану вище, випливає, що площа дорівнює 3 * 2 * (4 + 5) = 54см ^ 2.

З іншого боку, використовуючи формулу обсягу, отримаємо, що обсяг даної піраміди 2 * 4 * 3 = 24см ^ 3.

Список літератури

  1. Білштейн, Р., Лібескінд, С., і Лотт, Дж. В. (2013). Математика: підхід до вирішення проблем для вчителів базової освіти. Лопес Матеос.
  2. Fregoso, R. S., & Carrera, S.A. (2005). Математика 3. Редакція Progreso.
  3. Gallardo, G., & Pilar, P. M. (2005). Математика 6. Редакція Progreso.
  4. Gutiérrez, C.T., & Cisneros, M. P. (2005). Третій курс з математики. Редакція Progreso.
  5. Kinsey, L., & Moore, T.E. (2006). Симетрія, форма і простір: вступ до математики через геометрію (проілюстровано, передрукована редакція). Springer Science & Business Media.
  6. Mitchell, C. (1999). Сліпуче дизайну лінії Math (Ілюстрований ред.). Scholastic Inc.
  7. Р., М. П. (2005). Я малюю 6º. Редакція Progreso.