Продукт Хреста Властивості, додатків і вирішені вправи

The Хрест продукту або векторного продукту Це спосіб множення двох або більше векторів. Існує три способи множення векторів, але жодне з них не є множенням у звичайному розумінні слова. Одна з цих форм відома як векторний продукт, в результаті чого утворюється третій вектор.

Векторний продукт, який також називають перехресним продуктом або зовнішнім продуктом, має різні алгебраїчні та геометричні властивості. Ці властивості дуже корисні, особливо при вивченні фізики.

Індекс

• 1 Визначення
• 2 Властивості
  • 2.1 Майно 1
  • 2.2 Власність 2
  • 2.3 Власність 3
  • 2.4 Власність 4 (потрійний скалярний продукт)
  • 2.5 Власність 5 (потрійний векторний продукт)
  • 2.6 Власність 6
  • 2.7 Майно 7
  • 2.8 Власність 8
• 3 Програми
  • 3.1 Обчислення обсягу паралелепіпеда
• 4 Вправи вирішені
  • 4.1 Вправа 1
  • 4.2 Вправа 2
• 5 Посилання

Визначення

Формальне визначення векторного продукту наступне: якщо A = (a1, a2, a3) і B = (b1, b2, b3) вектори, то векторним продуктом A і B, який ми позначимо як AxB, є:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Через позначення AxB, він читається як "A cross B".

Прикладом використання зовнішнього продукту є те, що якщо A = (1, 2, 3) і B = (3, -2, 4) є векторами, то за допомогою визначення векторного продукту ми маємо:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Інший спосіб вираження векторного продукту задається визначеннями визначень.

Розрахунок визначника другого порядку задається:

Отже, формула векторного продукту, наведена у визначенні, може бути переписана наступним чином:

Це, як правило, спрощено у визначнику третього порядку наступним чином:

Де i, j, k являють собою вектори, які є основою R³.

Використовуючи цей спосіб вираження перехресного продукту, маємо, що попередній приклад можна переписати як:

Властивості

Деякі властивості, якими володіє векторний продукт, такі:

Власність 1

Якщо A - будь-який вектор в R³, Ми повинні:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Ці властивості легко перевірити, використовуючи тільки визначення. Якщо A = (a1, a2, a3), ми повинні:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Якщо i, j, k являють собою одиницю бази R³, Ми можемо написати їх наступним чином:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Потім ми повинні виконати такі властивості:

Як мнемонічне правило, для запам'ятовування цих властивостей зазвичай використовується наступне коло:

Тут слід зазначити, що будь-який вектор з самим собою призводить до вектора 0, а решта продуктів можна отримати з наступним правилом:

Поперечний продукт двох послідовних векторів у напрямку за годинниковою стрілкою дає наступний вектор; і при розгляді напрямку проти годинникової стрілки результат є наступним вектором з негативним знаком.

Завдяки цим властивостям можна бачити, що векторний продукт не є комутативним; наприклад, досить помітити, що i x j ≠ j x i. Наступне властивість говорить нам, як Axb і BxA відносяться взагалі.

Власність 2

Якщо A і B є R векторами³, Ми повинні:

AxB = - (BxA).

Демонстрація

Якщо A = (a1, a2, a3) і B = (b1, b2, b3), то за визначенням зовнішнього продукту ми маємо:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Можна також помітити, що цей продукт не є асоціативним з наступним прикладом:

ix (ixj) = ixk = - j, але (ixi) xj = 0xj = 0

З цього можна помітити, що:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Власність 3

Якщо A, B, C є R векторами³ і r - дійсне число, справедливо наступне:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Завдяки цим властивостям можна розрахувати векторний продукт за допомогою законів алгебри, за умови, що порядок дотримується. Наприклад:

Якщо A = (1, 2, 3) і B = (3, -2, 4), їх можна переписати на основі канонічної бази R³.

Таким чином, A = i + 2j + 3k і B = 3i - 2j + 4k. Потім, застосовуючи попередні властивості:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Власність 4 (потрійний скалярний продукт)

Як ми вже згадували на початку, існують й інші способи множення векторів, крім векторного продукту. Одним з таких способів є скалярний продукт або внутрішній продукт, який позначається як A and B і визначення якого:

Якщо A = (a1, a2, a3) і B = (b1, b2, b3), то A = B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Властивість, що стосується обох продуктів, відома як трьохкалярний продукт.

Якщо A, B і C є R векторами³, тоді A x BxC = AxB ∙ C

Як приклад, давайте подивимося, що, враховуючи A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) і C = (- 5, 1, - 4), ця властивість виконується.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A x BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

З іншого боку:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Іншим потрійним продуктом є Ax (BxC), який відомий як потрійний векторний продукт.

Властивість 5 (потрійний векторний продукт)

Якщо A, B і C є R векторами³,  потім:

Ax (BxC) = (A) C) B - (A) B) C

Як приклад, давайте подивимося, що, враховуючи A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) і C = (- 5, 1, - 4), ця властивість виконується.

З попереднього прикладу відомо, що BxC = (- 18, - 22, 17). Розрахуємо Ax (BxC):

Сокира (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

З іншого боку, ми повинні:

A = C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A = B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Отже, ми повинні:

(A) C) B - (A) B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Власність 6

Це одне з геометричних властивостей векторів. Якщо A і B є двома векторами в R³ Θ - кут, який формується між ними, а потім:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), де || ∙ || позначає модуль або величину вектора.

Геометрична інтерпретація цього властивості полягає в наступному:

Нехай A = PR і B = PQ. Тоді кут, утворений векторами A і B, є кутом P трикутника RQP, як показано на наступному малюнку.

Отже, площа паралелограма з суміжними сторонами PR і PQ є || A ||| B || sin (Θ), оскільки ми можемо взяти за основу || A || і його висота задається || B || sin (Θ).

Через це можна зробити висновок, що || AxB || - площа зазначеного паралелограма.

Приклад

Дано наступні вершини чотирикутника P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) і S (5,7, -3), показують, що згаданий чотирикутник є паралелограм і знаходить її площу.

Для цього спочатку визначимо вектори, які визначають напрямок сторін чотирикутника. Це:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Як ми можемо спостерігати, A та C мають одного і того ж векторного директора, для якого ми маємо, що обидва паралельні; так само, як це відбувається з B і D. Тому ми робимо висновок, що PQRS є паралелограммом.

Щоб мати площу згаданого паралелограма, обчислимо BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Тому площа в квадраті буде:

|| BxA ||² = (- 6)² + (- 2)² + (- 7)² = 36 + 4 + 49 = 89.

Можна зробити висновок, що площа паралелограм буде квадратним коренем 89.

Власність 7

Два вектора A і B паралельні в R³ так і тільки якщо AxB = 0

Демонстрація

Зрозуміло, що якщо A або B є нульовим вектором, то AxB = 0. Оскільки нульовий вектор паралельний будь-якому іншому вектору, то властивість справедлива..

Якщо жоден з двох векторів не є нульовим вектором, то ми маємо, що їх величини відрізняються від нуля; тобто обидва || A || As 0 як || B || , 0, тому нам доведеться || AxB || = 0 тоді і тільки тоді, коли sin (=) = 0, і це відбувається, якщо і тільки якщо Θ = π або Θ = 0.

Тому можна зробити висновок, що AxB = 0 тоді і тільки тоді, коли Θ = π або Θ = 0, що відбувається лише тоді, коли обидва вектора паралельні один одному.

Власність 8

Якщо A і B є двома векторами в R³, тоді AxB перпендикулярно обом A і B.

Демонстрація

Для цієї демонстрації пам'ятайте, що два вектори перпендикулярні, якщо A is B дорівнює нулю. Крім того, ми знаємо, що:

A B AxB = AxA ∙ B, але AxA дорівнює 0. Тому ми повинні:

A B AxB = 0 = B = 0.

За цим можна зробити висновок, що A і AxB перпендикулярні один одному. Аналогічним чином ми повинні:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Як BxB = 0, ми повинні:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Отже, AxB і B перпендикулярні один одному і з цим демонструється властивість. Це дуже корисно, оскільки вони дозволяють визначити рівняння площини.

Приклад 1

Отримаємо рівняння площини, що проходить через точки P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) і R (2, 1, 3).

Нехай A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) і B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Тоді A = - i + 3j + k і B = i - 2j + k. Для знаходження площини, утвореної цими трьома точками, достатньо знайти вектор, який є нормальним до площини, тобто AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

З цим вектором і, приймаючи точку P (1, 3, 2), можна визначити рівняння площини наступним чином:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Отже, маємо, що рівняння площини 5x + 2y - z - 9 = 0.

Приклад 2

Знайти рівняння площини, що містить точку P (4, 0, - 2) і яка перпендикулярна кожній з площин x - y + z = 0 і 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Знаючи, що нормальний вектор до площини ax + + cz + d = 0, є (a, b, c), маємо, що (1, -1,1) є нормальним вектором x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) є нормальним вектором 2x + y - 4z - 5 = 0.

Тому нормальний вектор до шуканої площини повинен бути перпендикулярним (1, -1,1) і a (2, 1, - 4). Зазначений вектор:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Тоді маємо, що шукана площина є такою, яка містить точку P (4,0, - 2) і має вектор (3,6,3) як нормальний вектор.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Програми

Розрахунок обсягу паралелепіпеда

Додаток, що має потрійний скалярний продукт, має змогу обчислити обсяг паралелепіпеда, ребра якого задані векторами A, B і C, як показано на малюнку:

Ми можемо вивести це застосування наступним чином: як ми вже говорили, вектор AxB є вектором, який є нормальним до площини A і B. Ми також маємо, що вектор - (AxB) є іншим вектором, нормальним до згаданої площини..

Виберемо нормальний вектор, який формує найменший кут з вектором C; Не втрачаючи спільності, нехай AxB є вектором, кут якого з C є найменшим.

Ми маємо, що і AxB, і C мають однакову відправну точку. Крім того, відомо, що площа паралелограма, що формує основу паралелепіпеда, є || AxB ||. Тому, якщо висота паралелепіпеда задана h, то ми маємо, що її обсяг буде:

V = || AxB || h.

З іншого боку, розглянемо скалярний продукт між AxB і C, який можна описати наступним чином:

Проте, за тригонометричними властивостями ми маємо, що h = || C || cos (Θ), тому доводиться:

Таким чином ми повинні:

Загалом, маємо, що об'єм паралелепіпеда задається абсолютним значенням потрійного скалярного продукту AxB ∙ C.

Вирішені вправи

Вправа 1

Враховуючи точки P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) і S = (2, 6, 9), ці точки утворюють паралелепіпед, ребер якого вони є PQ, PR і PS. Визначають обсяг зазначеного паралелепіпеда.

Рішення

Якщо взяти:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Використовуючи властивість потрійного скалярного продукту, ми повинні:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 + 80 = 52.

Отже, ми маємо, що обсяг згаданого паралелепіпеда становить 52.

Вправа 2

Визначимо об'єм паралелепіпеда, ребра якого задані A = PQ, B = PR і C = PS, де точки P, Q, R і S є (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) і (2, 2, 5) відповідно.

Рішення

Спочатку маємо, що A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Обчислимо AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Потім обчислимо AxB: C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Таким чином, ми робимо висновок, що обсяг згаданого паралелепіпеда становить 1 куб.

Список літератури

1. Лейтольд, Л. (1992). РОЗРАХУНОК з аналітичною геометрією. HARLA, S.A..
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Фізика т. 1. Мексика: континентальний.
3. Saenz, J. (s.f.). Вектор розрахунок 1ed. Гіпотенуза.
4. Spiegel, M. R. (2011). Векторний аналіз 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Розрахунок різних змінних 4ed. Mc Graw Hill.