Властивості рівності

The властивості рівності вони посилаються на взаємозв'язок між двома математичними об'єктами, або числами або змінними. Він позначається символом "=", який завжди входить між цими двома об'єктами. Цей вираз використовується для встановлення того, що два математичні об'єкти представляють один і той же об'єкт; в іншому слові, що два об'єкти - це одне і те ж.

Є випадки, коли рівноправність є тривіальною. Наприклад, зрозуміло, що 2 = 2. Однак, коли мова йде про змінні, вона більше не є тривіальною і має специфічне використання. Наприклад, якщо у вас є y = x, а з іншого боку x = 7, можна зробити висновок, що y = 7.

Попередній приклад ґрунтується на одному з властивостей рівності, як буде показано коротко. Ці властивості є суттєвими для розв'язання рівнянь (рівностей із змінними), які є дуже важливою частиною математики.

Індекс

• 1 Які властивості рівності?
  • 1.1 Відбивна властивість
  • 1.2 Симетричне властивість
  • 1.3 Перехідна власність
  • 1.4 Єдине майно
  • 1.5 Відміна майна
  • 1.6 Заміна майна
  • 1.7 Власність влади в рівності
  • 1.8 Власність кореня в рівності
• 2 Посилання

Які властивості рівності?

Відбивна власність

Відбивна властивість, у разі рівності, говорить, що кожне число дорівнює самому і виражається як b = b для будь-якого дійсного числа b.

У конкретному випадку рівності ця властивість здається очевидною, але в іншому типі відносин між числами це не так. Іншими словами, не кожне відношення дійсних чисел виконує цю властивість. Наприклад, такий випадок відносин "менше ніж" (<); ningún número es menor que sí mismo.

Симетрична властивість

Симетричне властивість для рівності говорить, що якщо a = b, то b = a. Незалежно від того, який порядок використовується в змінних, це буде збережено у відносинах рівності.

Деяку аналогію цієї властивості можна спостерігати з комутативною властивістю у випадку додавання. Наприклад, через цю властивість вона еквівалентна запису y = 4 або 4 = y.

Перехідна власність

Транзитивна властивість в рівності стверджує, що якщо a = b і b = c, то a = c. Наприклад, 2 + 7 = 9 і 9 = 6 + 3; отже, за транзитивною властивістю ми маємо 2 + 7 = 6 + 3.

Просте додаток є наступним: припустимо, що Юліану 14 років і що Маріо є віком, як Роза. Якщо Роза такий же, як і Юліан, скільки років Маріо??

За цим сценарієм перехідне властивість використовується двічі. Математично це трактується так: бути "віком" Маріо, "б" віком Рози і "с" віком Юліана. Відомо, що b = c і c = 14.

Для транзитивної властивості маємо, що b = 14; Росі 14 років. Оскільки a = b і b = 14, то знову використовуємо транзитивну властивість a = 14; тобто вік Маріо також 14 років.

Єдине майно

Єдине властивість полягає в тому, що якщо обидві сторони рівності додаються або множаться на одну і ту ж суму, рівність зберігається. Наприклад, якщо 2 = 2, то 2 + 3 = 2 + 3, що ясно, то 5 = 5. Ця властивість має більше корисності, коли мова йде про вирішення рівняння.

Наприклад, припустимо, що вас попросять вирішити рівняння x-2 = 1. Зручно пам'ятати, що розв'язання рівняння полягає в явному визначенні змінної (або змінних), задіяних, на основі конкретного числа або раніше вказаної змінної.

Повертаючись до рівняння x-2 = 1, що необхідно зробити, необхідно знайти явно, наскільки коштує x. Для цього змінна повинна бути очищена.

Було помилково навчено, що в цьому випадку, коли число 2 є негативним, воно переходить на іншу сторону рівності з позитивним знаком. Але не правильно це говорити так.

В основному, це робиться для того, щоб застосувати єдину власність, як ми побачимо нижче. Ідея полягає в тому, щоб очистити "x"; тобто, залиште його на одному боці рівняння. За згодою, зазвичай він залишається ліворуч.

Для цього число, яке ви хочете "усунути", становить -2. Для цього слід додати 2, оскільки -2 + 2 = 0 і x + 0 = 0. Щоб мати можливість зробити це без зміни рівності, ту саму операцію необхідно застосувати на іншій стороні.

Це дозволяє реалізувати однорідну властивість: як x-2 = 1, якщо число 2 додано по обидві сторони рівності, то однорідне властивість говорить, що те ж саме не змінюється. Тоді маємо, що x-2 + 2 = 1 + 2, що еквівалентно твердженню, що x = 3. При цьому розв'язували б рівняння.

Аналогічно, якщо потрібно вирішити рівняння (1/5) y-1 = 9, можна приступити до використання єдиної властивості наступним чином:

Загалом, можна зробити наступні твердження:

- Якщо a-b = c-b, то a = c.

- Якщо x-b = y, то x = y + b.

- Якщо (1 / a) z = b, то z = a ×

- Якщо (1 / c) a = (1 / c) b, то a = b.

Скасування власності

Скасування власності - це окремий випадок рівноправної власності, особливо якщо брати до уваги випадок і поділ (які, в кінцевому підсумку, також відповідають додаванню і множенню). Ця властивість розглядає цей випадок окремо.

Наприклад, якщо 7 + 2 = 9, то 7 = 9-2. Або якщо 2y = 6, то y = 3 (поділ на дві з обох сторін).

Аналогічно попередньому випадку через властивість скасування можуть бути встановлені наступні твердження:

- Якщо a + b = c + b, то a = c.

- Якщо x + b = y, то x = y-b.

- Якщо az = b, то z = b / a.

- Якщо ca = cb, то a = b.

Заміна власності

Якщо ми знаємо значення математичного об'єкта, властивість заміщення говорить, що це значення може бути замінено в будь-якому рівнянні або виразі. Наприклад, якщо b = 5 і a = bx, то підставляючи значення "b" у другому рівності, маємо, що a = 5x.

Іншим прикладом є наступне: якщо "m" ділить "n", а також "n" ділить "m", то має бути, що m = n.

По суті, сказати, що "m" ділить "n" (або еквівалентно, що "m" є дільником "n") означає, що поділ m ÷ n точний; тобто діленням "m" на "n" ви отримуєте ціле число, а не десяткове число. Це можна виразити, сказавши, що існує ціле число "k" таке, що m = k × n.

Оскільки "n" також ділить "m", то існує ціле число "p" таке, що n = p × m. Для властивості заміщення маємо, що n = p × k × n, і для цього є дві можливості: n = 0, у цьому випадку ми мали б тотожність 0 = 0; або p × k = 1, де ідентичність повинна бути n = n.

Припустимо, що "n" є ненульовим. Тоді обов'язково p × k = 1; отже, p = 1 і k = 1. Використовуючи знову властивість заміщення, підставляючи k = 1 в рівність m = k × n (або еквівалентно, p = 1 в n = p × m), остаточно отримаємо, що m = n, що було те, що хотілося продемонструвати..

Право власності на рівність

Як раніше було видно, що якщо операція виконується як сума, множення, віднімання або ділення в обох термінах рівності, вона зберігається, так само, як інші операції можуть бути застосовані, які не змінюють рівності.

Ключ завжди полягає в тому, щоб завжди робити це з обох сторін рівності і переконатися заздалегідь, що операція може бути здійснена. Такий випадок посилення прав; тобто, якщо обидві сторони рівняння підняті до однієї потужності, все одно існує рівність.

Наприклад, як 3 = 3, то 3²= 3² (9 = 9). Загалом, задано ціле число "n", якщо x = y, то xⁿ= yⁿ.

Властивість кореня в рівності

Це окремий випадок потенціювання і застосовується, коли потужність є цілим раціональним числом, таким як ½, який представляє квадратний корінь. Ця властивість стверджує, що якщо один і той самий корінь застосовується з обох сторін рівності (де це можливо), рівність зберігається.

На відміну від попереднього випадку, тут необхідно бути обережним з паритетом кореня, який буде застосований, оскільки добре відомо, що чітке коріння від'ємного числа не є чітко визначеним..

У випадку, якщо радикал є рівним, проблем немає. Наприклад, якщо x³= -8, навіть якщо це рівність, ви не можете застосувати квадратний корінь з обох сторін, наприклад. Однак, якщо ви можете застосувати кубічний корінь (що ще зручніше, якщо ви хочете явно знати значення x), отримавши, що x = -2.

Список літератури

1. Aylwin, C. U. (2011). Логіка, набори та цифри. Меріда - Венесуела: Рада публікацій, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕР. Поріг.
3. Ліра, М. Л. (1994). Симон і математика: Математичний текст для другого базового року: студентська книга. Андрес Белло.
4. Preciado, C. T. (2005). Курс математики 3о. Редакція Progreso.
5. Сеговія, Б. Р. (2012). Математична діяльність і ігри з Мігелем і Люсією. Балдомеро Рубіо Сеговія.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2-й курс з математики. Редакція Progreso.