Що таке відносні двоюрідні брати? Характеристики та приклади

Це називається родичі (coprimos або двоюрідні брати по відношенню один до одного) до будь-якої пари цілих чисел, які не мають спільного дільника, крім 1.

Іншими словами, два цілих числа є відносними родичами, якщо в їх розкладах у простих числах вони не мають спільного фактора.

Наприклад, якщо 4 і 25 обрані, то первинними розкладаннями кожного з них є 2² і 5² відповідно. Як це зрозуміло, вони не мають жодного загального чинника, тому 4 і 25 є відносними родичами.

З іншого боку, якщо 6 і 24 вибираються, то при проведенні їх розкладу в простих множниках отримуємо, що 6 = 2 * 3 і 24 = 2³ * 3.

Як ви можете бачити, ці два останні вирази мають принаймні один загальний фактор, тому вони не є відносними простими числами.

Відносні двоюрідні брати

Однією річчю, яку потрібно бути обережною, є те, що висловлювання, що пара цілих чисел є відносними простими числами, полягає в тому, що це не означає, що будь-яке з них є простим числом.

З іншого боку, вищезгадане визначення може бути узагальнене таким чином: два цілих числа "a" і "b" є відносними простими числами, якщо і тільки якщо, найбільший загальний дільник з них 1, тобто mcd ( a, b) = 1.

Два безпосередні висновки цього визначення такі:

-Якщо "a" (або "b") є простим числом, то mcd (a, b) = 1.

-Якщо "a" і "b" прості числа, то mcd (a, b) = 1.

Тобто, якщо принаймні одне з вибраних чисел є простим числом, то безпосередньо пара чисел є відносними простими числами.

Інші функції

Інші результати, які використовуються для визначення, чи є два числа відносними простими числами:

-Якщо два цілих числа є послідовними, то це відносні родичі.

-Два натуральних числа "a" і "b" є відносними простими числами, якщо і тільки якщо, числа "(2 ^ a) -1" і "(2 ^ b) -1" є відносними простими числами.

-Два цілих числа "a" і "b" є відносними простими числами, якщо і тільки якщо, побудуючи точку (a, b) в декартовій площині, побудуємо лінію, яка проходить через початок (0,0) і (a). , б) не містить жодних точок з цілими координатами.

Приклади

1.- Розглянемо цілі числа 5 і 12. Основними факторами розкладання обох чисел є: 5 і 2² * 3 відповідно. На закінчення, gcd (5,12) = 1, отже, 5 і 12 є відносними простими числами.

2.- Нехай числа -4 і 6. Тоді -4 = -2² і 6 = 2 * 3, так що LCD (-4.6) = 2. 1. У висновку -4 і 6 не відносні родичі.

Якщо ми переходимо до графа, що проходить через впорядковані пари (-4.6) і (0.0), і визначаємо рівняння цієї лінії, можна переконатися, що він проходить через точку (-2,3)..

Знову ж таки робиться висновок, що -4 і 6 не є відносними родичами.

3.- Числа 7 і 44 є відносними простими числами і можуть бути швидко завершені завдяки вищенаведеному, оскільки 7 є простим числом.

4.- Розглянемо числа 345 і 346. Будучи двома послідовними числами, перевіряємо, що mcd (345,346) = 1, тому 345 і 346 є відносними простими числами.

5.- Якщо розглядати числа 147 і 74, то це відносні родичі, оскільки 147 = 3 * 7² і 74 = 2 * 37, тому gcd (147.74) = 1.

6.- Числа 4 і 9 є відносними простими числами. Для демонстрації цього можна використовувати другу згадану вище характеристику. По суті, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 і 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Отримані числа становлять 15 і 511. Розподіл основних чисел цих чисел відповідно 3 * 5 і 7 * 73, так що mcd (15,511) = 1.

Як ви можете бачити, використання другої характеристики є більш довгим і трудомістким завданням, ніж перевірка його безпосередньо.

7.- Розглянемо числа -22 і -27. Потім ці числа можна переписати наступним чином: -22 = -2 * 11 і -27 = -3³. Отже, gcd (-22, -27) = 1, тому -22 і -27 є відносними простими числами.

Список літератури

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Введення в теорію чисел. EUNED.
2. Bourdon, P. L. (1843). Арифметичні елементи. Книжковий магазин лордів і дитячих синів Каллея.
3. Castañeda, S. (2016). Основний курс теорії чисел. Університет Півночі.
4. Гевара, М.Х. (с.ф.). Набір цілих чисел. EUNED.
5. Вищий інститут підготовки вчителів (Іспанія), J. L. (2004). Цифри, форми і обсяги в дитячому середовищі. Міністерство освіти.
6. Палмер, С. І., і Бібб, С. Ф. (1979). Практична математика: арифметика, алгебра, геометрія, тригонометрія і правило слайдів (передрук. ред.). Реверте.
7. Рок, М. М. (2006). Алгебра Я Легка! Так легко. Team Rock Press.
8. Smith, S.A. (2000). Алгебра. Освіта Пірсона.
9. Szecsei, D. (2006). Основна математика та попередня алгебра (проілюстровано авт.). Прес кар'єри.
10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2-й курс з математики. Редакція Progreso.
11. Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Основні принципи арифметики. ELIZCOM S.A.S.