Алгебраїчне обґрунтування (з розв'язаними вправами)



The алгебраїчні міркування по суті полягає в тому, щоб передати математичний аргумент через спеціальну мову, що робить його більш суворим і загальним, використовуючи алгебраїчні змінні і операції, визначені між собою. Характерною рисою математики є логічна строгість і абстрактна тенденція, що використовується в її аргументах.

Для цього необхідно знати правильну "граматику", яку слід використовувати в цьому письмовому вигляді. Крім того, алгебраїчні міркування дозволяє уникнути двозначностей у обґрунтуванні математичного аргументу, який є необхідним для показу будь-якого результату в математиці.

Індекс

  • 1 Алгебраїчні змінні
  • 2 Алгебраїчні вирази
    • 2.1 Приклади
  • 3 Вправи вирішені
    • 3.1 Перша вправа
    • 3.2 Друга вправа
    • 3.3 Третя вправа
  • 4 Посилання

Алгебраїчні змінні

Алгебраїчна змінна - це просто змінна (буква або символ), що представляє певний математичний об'єкт.

Наприклад, букви x, y, z зазвичай використовуються для представлення чисел, які задовольняють заданому рівнянню; букви p, q r, що представляють формули висловлювань (або їхні відповідні капітали представляють конкретні пропозиції); і літери A, B, X і т.д., щоб представляти множини.

Термін "змінна" підкреслює, що даний об'єкт не є фіксованим, а змінюється. Такий випадок має випадок, в якому змінні використовуються для визначення рішень, які в принципі невідомі.

Загалом, алгебраїчна змінна може розглядатися як буква, що представляє деякий об'єкт, чи є він фіксованим чи ні.

Так само, як алгебраїчні змінні використовуються для представлення математичних об'єктів, ми можемо також розглядати символи для представлення математичних операцій.

Наприклад, символ "+" представляє операцію "сума". Іншими прикладами є різні символічні позначення логічної сполучної у випадку пропозицій і множин.

Алгебраїчні вирази

Алгебраїчний вираз являє собою комбінацію алгебраїчних змінних за допомогою раніше визначених операцій. Прикладами цього є основні операції додавання, віднімання, множення і ділення між числами, або логічних зв'язків у пропозиціях і наборах.

Алгебраїчне міркування відповідає за вираження аргументації або математичного аргументу за допомогою алгебраїчних виразів.

Ця форма висловлювання допомагає спростити і скоротити письмову форму, оскільки вона використовує символічні позначення і дозволяє нам краще зрозуміти міркування, подаючи її більш чітким і точним способом..

Приклади

Давайте розглянемо деякі приклади, які показують, як використовується алгебраїчне міркування. Дуже регулярно вона використовується для вирішення проблем логіки і міркування, як ми побачимо найближчим часом.

Розглянемо відоме математичне судження «сума двох чисел є комутативною». Давайте подивимося, як ми можемо виразити цю думку алгебраїчно: дано два числа "а" і "б", що означає це те, що a + b = b + a.

Аргументація, що використовується для інтерпретації початкової пропозиції і вираження її в алгебраїчних термінах, є алгебраїчним міркуванням.

Можна також згадати відомий вираз "порядок факторів не змінює продукт", що посилається на те, що твір двох чисел також комутативний, а алгебраїчно виражений як axb = bxa.

Аналогічно, асоціативні та розподільні властивості можуть бути виражені (і фактично виражені) алгебраїчно для додавання і продукту, в який включено віднімання і ділення..

Цей тип міркувань охоплює дуже широку мову і використовується в різних і різних контекстах. Залежно від кожного конкретного випадку, в цих контекстах ми повинні розпізнавати закономірності, інтерпретувати висловлювання і узагальнювати та формалізувати їх вираження в алгебраїчних термінах, забезпечуючи дійсне і послідовне міркування.

Вирішені вправи

Нижче наведено деякі логічні завдання, які ми вирішимо за допомогою алгебраїчних міркувань:

Перша вправа

Що таке число, яке, видаляючи половину, дорівнює одиниці?

Рішення

Для вирішення цього типу вправ дуже корисно представити значення, яке ми хочемо визначити за допомогою змінної. У цьому випадку ми хочемо знайти число, яке, видаляючи половину, призводить до числа один. Позначимо для x шукане число.

"Для видалення половини" до числа мається на увазі поділ його на 2. Таким чином, вище можна виразити алгебраїчно як x / 2 = 1, і задача зводиться до розв'язання рівняння, яке в даному випадку є лінійним і дуже простим для вирішення. Очищаючи x, отримаємо, що рішення x = 2.

На закінчення 2 - число, яке при видаленні половини дорівнює 1.

Друга вправа

Скільки хвилин залишається до півночі, якщо за 10 хвилин не вистачає 5/3 того, чого зараз немає?

Рішення

Позначимо "z" кількість хвилин, що залишилися до півночі (будь-яку іншу літеру можна використовувати). Тобто тільки зараз "z" хвилин за північ відсутні. Це означає, що 10 хвилин не вистачало "z + 10" хвилин за північ, і це відповідає 5/3 того, що зараз відсутня; тобто (5/3) z.

Тоді задача зводиться до розв'язання рівняння z + 10 = (5/3) z. Помноживши обидві сторони на рівність на 3, отримаємо рівняння 3z + 30 = 5z.

Тепер, групуючи змінну "z" на одній стороні рівності, отримаємо, що 2z = 15, що означає, що z = 15.

Тому до півночі залишається 15 хвилин.

Третя вправа

У племені, що практикує бартер, є такі еквівалентності:

- Спис і намисто обмінюються на щит.

- Спис еквівалентний ножу і намисто.

- Два щити обмінюються на три ножі.

Скільки нашийників є еквівалентом спису??

Рішення

Шон:

Co = намисто

L = спис

E = щит

Cu = ніж

Тоді ми маємо наступні відносини:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Тому завдання зводиться до розв'язання системи рівнянь. Незважаючи на те, що більше невідомих, ніж рівняння, ця система може бути вирішена, оскільки вони не запитують нас про конкретне рішення, а про одну з змінних, що залежать від іншого. Що ми повинні зробити, це висловити "Co" у функції "L" виключно.

З другого рівняння ми маємо, що Cu = L - Co. Підставляючи в третьому, отримаємо, що E = (3L - 3Co) / 2. Нарешті, підставивши перше рівняння і спростивши його, отримаємо, що 5Co = L; тобто, що спис дорівнює п'яти комірцям.

Список літератури

  1. Білштейн, Р., Лібескінд, С., і Лотт, Дж. В. (2013). Математика: підхід до вирішення проблем для вчителів базової освіти. Лопес Матеос.
  2. Джерела, А. (2016). ОСНОВНА МАТЕМАТИКА. Вступ до розрахунку. Lulu.com.
  3. Гарсія Руа, Дж., І Мартінес Санчес, Дж. М. (1997). Основні елементарні математики. Міністерство освіти.
  4. Rees, P. K. (1986). Алгебра. Реверте.
  5. Рок, М. М. (2006). Алгебра Я Легка! Так легко. Team Rock Press.
  6. Smith, S.A. (2000). Алгебра. Освіта Пірсона.
  7. Szecsei, D. (2006). Основна математика та попередня алгебра (проілюстровано авт.). Прес кар'єри.