Вісімкова історія системи, система нумерації та перетворення

The вісімковій системі це система позиційної нумерації восьми базових (8); тобто складається з восьми цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7. Тому кожна цифра вісімкового числа може мати будь-яке значення від 0 до 7. Вісімкові числа вони формуються з двійкових чисел.

Це пояснюється тим, що його основа - точна потужність двох (2). Тобто числа, які належать до вісімкової системи, формуються, коли вони згруповані в три послідовні цифри, розташовані справа наліво, отримуючи таким чином їх десяткове значення.

Індекс

• 1 Історія
• 2 Вісімкова система нумерації
• 3 Перетворення вісімкової системи в десяткову
  • 3.1 Приклад 1
  • 3.2 Приклад 2
• 4 Перетворення десяткової системи у вісімкове
  • 4.1 Приклад
• 5 Перетворення вісімкової системи в двійкову
• 6 Перетворення двійкової системи у вісімкову
• 7 Перетворення вісімкової системи в шістнадцяткову і навпаки
  • 7.1 Приклад
• 8 Посилання

Історія

Вісімкова система бере свій початок у давнину, коли люди використовували свої руки для підрахунку від восьми до восьми тварин.

Наприклад, щоб підрахувати кількість корів у сараї, один почав розраховувати на праву руку, приєднуючи великий палець до мізика; потім, щоб підрахувати другу тварину, великий палець з'єднався з вказівним пальцем і так далі, з іншими пальцями кожної руки, до завершення 8.

Існує ймовірність, що в давнину система восьмеричної нумерації використовувалася перед десятковою, щоб можна було підрахувати міжпальцеві простори; тобто підраховувати всі пальці, окрім великих пальців.

Згодом була встановлена ​​восьмерична система нумерації, яка виникла з двійкової системи, тому що вона потребує багатьох цифр, щоб представляти лише одне число; З цього моменту були створені восьмикутні і гексагональні системи, які не потребують стільки цифр і можуть бути легко перетворені в двійкову систему..

Вісімкова система нумерації

Вісімкова система складається з восьми цифр від 0 до 7. Вони мають таке ж значення, як у випадку десяткової системи, але їхня відносна величина змінюється залежно від займаної ними позиції. Значення кожної позиції задається базовими повноваженнями 8.

Позиції цифр у вісімковому номері мають такі ваги:

8⁴, 8³, 8², 8¹, 8⁰, вісімкова точка, 8^-1, 8^-2, 8^-3, 8^-4, 8^-5.

Найбільша вісімкова цифра - 7; таким чином, коли ця система підраховується, позиція в один розряд збільшується від 0 до 7. Коли вона досягає 7, вона повертається до 0 для наступного підрахунку; таким чином збільшується наступна позиція цифри. Наприклад, для підрахунку послідовностей, у вісімковій системі це буде:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Існує фундаментальна теорема, яка застосовується до вісімкової системи, і виражається наступним чином:

У цьому виразі di являє собою цифру, помножену на базову потужність 8, яка вказує позиційне значення кожної цифри, так само, як вона упорядковується в десятковій системі..

Наприклад, у вас є номер 543.2. Щоб перейти до вісімкової системи, вона розкладається наступним чином:

N = Σ [(5 _* 8²) + (4 _* 8¹) + (3 _*8⁰) + (2 _*8^-1)] = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25_d

Таким чином, ви повинні 543.2_q = 354,25_d. Індекс q вказує, що це вісімкове число, яке також може бути представлено числом 8; і індекс d позначає десяткове число, яке також може бути представлено числом 10.

Перетворення вісімкової системи в десяткову

Щоб перетворити восьмеричне системне число в його еквівалент у десятковій системі, потрібно лише помножити кожну вісімкову цифру на значення місця, починаючи з правого боку.

Приклад 1

732₈ = (7_* 8²) + (3_* 8¹) + (2_* 8⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732₈= 448 +24 +2

732₈= 474₁₀

Приклад 2

26.9₈ = (2 _*8¹) + (6_* 8⁰) + (9)_* 8^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26.9₈ = 16 + 6 + 1,125

26.9₈= 23,125₁₀

Перетворення десяткової системи у вісімкове

Десяткове ціле число можна перетворити на вісімкове число, використовуючи метод повторного поділу, де десяткове ціле число ділиться на 8, доки фактор не дорівнює 0, а залишки кожного поділу будуть представляти вісімкове число.

Відходи сортуються від останнього до першого; тобто перший залишок буде найменш значущою цифрою вісімкового числа. Таким чином, найважливішою цифрою буде останній залишок.

Приклад

Вісімкова з десяткового числа 266₁₀

- Ділимо десяткове число 266 між 8 = 266/8 = 33 + залишком 2.

- Потім 33 ділиться на 8 = 33/8 = 4 + залишок 1.

- Розділити 4 на 8 = 4/8 = 0 + залишок 4.

Оскільки при останньому поділі отримано частку менше 1, це означає, що результат був знайдений; тільки останки повинні бути впорядковані в зворотному порядку, так що вісімкове число десяткового числа 266 дорівнює 412, як це можна бачити на наступному зображенні:

Перетворення вісімкової системи в двійкову

Перетворення вісімкової системи в двійкову здійснюється шляхом перетворення вісімкової цифри на її еквівалентний двійковий розряд, утворений трьома цифрами. Існує таблиця, яка показує, як перетворюються вісім можливих цифр:

З цих перетворень будь-яке число з вісімкової системи до двійкового може бути змінено, наприклад, для перетворення числа 572₈ ваші еквіваленти шукаються в таблиці. Отже, ви повинні:

5₈ = 101

7₈= 111

2₈ = 10

Отже, 572₈ еквівалент у бінарній системі до 10111110.

Перетворення двійкової системи у вісімкову

Процес перетворення двійкових чисел у вісімкові цілі числа є зворотною операцією попереднього процесу.

Тобто, біти двійкового числа згруповані в дві групи по три біти, починаючи справа наліво. Потім з попередньою таблицею виконується перетворення двійкового до вісімка.

У деяких випадках двійкове число не матиме груп з 3 біт; Щоб завершити його, додайте один або два нулі ліворуч від першої групи.

Наприклад, щоб змінити двійкове число 11010110 на вісімкове, виконується наступне:

- Групи з 3 бітів формуються, починаючи з правого (останній біт):

11010110

- Оскільки перша група є неповною, ліворуч додано нуль:

011010110

- Перетворення здійснюється з таблиці:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Таким чином, двійкове число 011010110 еквівалентно 326₈.

Перетворення вісімкової системи в шістнадцяткову і навпаки

Щоб зробити зміну від вісімкового числа до шістнадцяткової системи або від шістнадцяткового до вісімкового, необхідно спочатку перетворити число на двійковий, а потім у потрібну систему.

Для цього є таблиця, де кожна шістнадцяткова цифра представлена ​​з її еквівалентом у двійковій системі, що складається з чотирьох цифр.

У деяких випадках двійкове число не буде мати групи з 4 біт; Щоб завершити його, додайте один або два нулі ліворуч від першої групи

Приклад

Перетворення вісімкового числа 1646 на шістнадцяткове число:

- Перетворюється число від вісімкового до двійкового

1₈ = 1

6₈ = 110

4₈ = 100

6₈ = 110

- Так, 1646₈ = 1110100110.

- Щоб перетворити з двійкового на шістнадцяткову, вони спочатку впорядковуються в 4-бітовій групі, починаючи справа наліво:

11 1010 0110

- Перша група комплектується нулями, так що вона може мати 4 біти:

0011 1010 0110

- Здійснюється перетворення двійкової системи в шістнадцяткову систему. Еквівалентності замінюються за допомогою таблиці:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Таким чином, вісімкове число 1646 еквівалентно 3A6 в шістнадцятковій системі.

Список літератури

1. Bressan, A.E. (1995). Введення в системи нумерації. Аргентинський університет бізнесу.
2. Harris, J.N. (1957). Введення в двійкову та восьмеричну системи нумерації: Лексінгтон, Массачусетс.
3. Кумар А. А. (2016). Основи цифрових схем. Навчання Pvt.
4. Peris, X. C. (2009). Операційні системи Monopuesto.
5. Ronald J. Tocci, N.S. (2003). Цифрові системи: принципи та застосування. Освіта Пірсона.