Поділитися:
Роз'яснення теореми Баєса, застосування, вправи
The Теорема Баєса є процедурою, яка дозволяє виразити умовну ймовірність випадкової події A, заданої B, з точки зору розподілу ймовірності події B, заданої A, і розподілу ймовірностей тільки A.
Ця теорема є дуже корисною, тому що завдяки їй ми можемо зв'язати ймовірність того, що подія А відбувається, знаючи, що B відбувається, з вірогідністю, що відбувається протилежне, тобто, що B відбувається з урахуванням A.
Теорема Баєса була срібною пропозицією преподобного Томаса Байєса, англійського богослова XVIII століття, який також був математиком. Він був автором декількох робіт з теології, але в даний час відомий парою математичних трактатів, серед яких вищезазначена теорема Баєса виділяється як головний результат..
Баєс розглядав цю теорему в роботі «Есе на шляху до вирішення проблеми в доктрині шансів», опублікованій в 1763 році, і на якому були розроблені великі роботи для вирішення проблеми в доктрині можливостей. Дослідження з додатками в різних областях знань.
Індекс
- 1 Пояснення
- 2 Застосування теореми Баєса
- 2.1 Вирішені вправи
- 3 Посилання
Пояснення
По-перше, для подальшого розуміння цієї теореми необхідні деякі основні поняття теорії ймовірностей, особливо теорема множення для умовної ймовірності, яка стверджує, що
Для E і A довільні події вибіркового простору S.
І визначення розділів, що говорить нам, що якщо ми маємо A1 ,A2,..., An події вибіркового простору S, вони сформують розділ S, якщо Ai вони є взаємовиключними і їх об'єднання - S.
Зробивши це, нехай B є іншою подією. Тоді ми бачимо B як
Де Ai перетинаються з В є взаємовиключними подіями.
І отже,
Потім, застосовуючи теорему множення
З іншого боку, умовна ймовірність Ai заданого B визначається
Підставивши адекватно, ми повинні для будь-якого i
Застосування теореми Баєса
Завдяки цьому результату дослідницьким групам і різноманітним корпораціям вдалося вдосконалити системи, що базуються на знаннях.
Наприклад, при вивченні захворювань теорема Баєса може допомогти розрізнити ймовірність того, що захворювання буде виявлено у групі людей з заданою характеристикою, приймаючи за даними глобальні показники захворювання та переважання зазначених ознак у люди як здорові, так і хворі.
З іншого боку, у світі високих технологій вплинули великі компанії, які, завдяки цьому результату, розробили програмне забезпечення "На основі знань"..
Як повсякденний приклад у нас є помічник Microsoft Office. Теорема Баєса допомагає програмному забезпеченню оцінювати проблеми, які представляє користувач і визначати, які поради надавати, і таким чином мати змогу запропонувати краще обслуговування відповідно до звичок користувача.
Слід зазначити, що до останнього часу ця формула була проігнорована, головним чином через те, що коли цей результат був розроблений 200 років тому, для них мало практичного використання. Проте в наш час, завдяки великим технологічним досягненням, вчені досягли шляхів реалізації цього результату.
Вирішені вправи
Вправа 1
Стільникова компанія має дві машини А і В. 54% вироблених стільникових телефонів виробляються машиною А, а решта машиною Б. Не всі вироблені стільникові телефони знаходяться в хорошому стані..
Частка дефектних стільникових телефонів, зроблених A, дорівнює 0,2, а B - 0,5. Яка ймовірність того, що мобільний телефон зазначеної фабрики є несправним? Яка ймовірність того, що, знаючи, що мобільний телефон є несправним, виходить з машини А?
Рішення
Тут у вас є експеримент, який виконується у двох частинах; у першій частині відбуваються події:
A: стільниковий телефон, виготовлений за допомогою машини A.
B: стільниковий телефон, виготовлений за допомогою машини B.
Оскільки машина A виробляє 54% стільникових телефонів, а решта виробляється машиною B, машина B виробляє 46% стільникових телефонів. Наводяться ймовірності цих подій, а саме:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Події другої частини експерименту:
D: дефектна клітина.
E: недефіцитна клітина.
Як сказано в твердженні, ймовірності цих подій залежать від результату, отриманого в першій частині:
P (D | A) = 0,2.
P (D | B) = 0,5.
Використовуючи ці значення, можна також визначити ймовірності доповнення цих подій, тобто:
P (E | A) = 1 - P (D | A)
= 1 - 0,2
= 0,8
і
p (E | B) = 1 - P (D | B)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Тепер подія D можна записати наступним чином:
Використовуючи теорему множення для умовної ймовірності, це призводить до:
З яким першим питанням дається відповідь.
Тепер нам просто потрібно обчислити P (A | D), для якого застосовується теорема Байеса:
Завдяки теоремі Байса можна сказати, що ймовірність того, що стільниковий телефон був зроблений машиною А, знаючи, що мобільний телефон несправний, становить 0,319.
Вправа 2
Три коробки містять білі та чорні кулі. Склад кожного з них такий: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.
Одне з боксів вибирається випадковим чином, і з нього витягується випадковий куля, який виявляється білим. Яка коробка, швидше за все, була обрана?
Рішення
Через U1, U2 і U3 ми також будемо представляти обраний ящик.
Ці події складають розділ S і перевіряється, що P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, оскільки вибір вікна є випадковим..
Якщо B = витягнутий м'яч білий, то будемо мати P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .
Що ми хочемо отримати - це ймовірність того, що м'яч був виведений з коробки Ui, знаючи, що м'яч білий, тобто P (Ui | B), і побачити, який з трьох значень був найвищим, щоб знати, коробка була, швидше за все, вилучення білої кулі.
Застосування теореми Баєса до першої з цих рядків:
А для двох інших:
P (U2 | B) = 2/6 і P (U3 | B) = 1/6.
Потім перша з ящиків - це та, яка має більшу ймовірність вибору для вилучення білої кулі.
Список літератури
- Кай Лай Чун Елементарна теорія доступності з стохастичними процесами. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Дискретна математика та її застосування. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Пол Л. Мейер. Вірогідність і статистичні застосування. S.A. МЕКСИКАНСЬКИЙ АЛЬАМБРА.
- Сеймур Ліпшуц 2000 Вирішені проблеми дискретного математики. McGRAW-HILL.
- Сеймур Ліпшуц Теорія і проблеми ймовірності. McGRAW-HILL.