Теорема Бернуллі Рівняння Бернуллі, додатки та розв'язані вправи

The Теорема Бернуллі, який описує поведінку рідини в русі, був проголошений математиком і фізиком Даніелем Бернуллі у своїй роботі Гідродинаміка. Відповідно до цього принципу, ідеальна рідина (без тертя або в'язкості), що знаходиться в циркуляції закритим каналом, матиме постійну енергію на своєму шляху.

Теорему можна вивести з принципу збереження енергії і навіть з другого закону руху Ньютона. Крім того, принцип Бернуллі також стверджує, що збільшення швидкості рідини означає зменшення тиску, до якого вона піддається, зменшення його потенційної енергії або одночасно обох..

Теорема має безліч і різних застосувань, як щодо світу науки, так і для повсякденного життя людей.

Її наслідки присутні в міцності літаків, в трубах будинків і промисловості, у водопровідних трубах, серед інших областей.

Індекс

• 1 Рівняння Бернуллі
  • 1.1 Спрощена форма
• 2 Програми
• 3 Вправа вирішена
• 4 Посилання

Рівняння Бернуллі

Хоча Бернуллі виявив, що тиск зменшується при збільшенні швидкості потоку, правда, що саме Леонгард Ейлер фактично розробив рівняння Бернуллі таким чином, як це зараз відомо..

У будь-якому випадку, рівняння Бернуллі, що є нічим іншим, як математичним виразом його теореми, має такий вигляд:

v² ∙ 2/2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = постійна

У цьому виразі v - швидкість руху рідини через розглянутий розріз, of - щільність рідини, P - тиск рідини, g - значення прискорення сили тяжіння, z - висота, виміряна в напрямку тяжкості.

У рівнянні Бернуллі неявно, що енергія рідини складається з трьох компонентів:

- Кінетична складова, яка є результатом швидкості, з якою рухається рідина.

- Потенційний або гравітаційний компонент, який обумовлений висотою, на якій знаходиться рідина.

- Енергія тиску, якою володіє рідина внаслідок тиску, якому вона піддається.

З іншого боку, рівняння Бернуллі можна також виразити так:

v₁² Ƿ / 2 + P₁ + ∙ g ∙ z₁ = v₂² Ƿ / 2 + P₂ + ∙ g ∙ z₂

Цей останній вираз дуже практичний для аналізу змін, які переживає рідина, коли змінюється один з елементів, що складають рівняння.

Спрощена форма

У певних випадках зміна терміна ρgz рівняння Бернуллі мінімальна порівняно з такою, що випробовується іншими термінами, тому її можна знехтувати. Наприклад, це відбувається в течіях, які літак відчуває в польоті.

У цих випадках рівняння Бернуллі виражається наступним чином:

P + q = P₀

У цьому виразі q є динамічним тиском і дорівнює v ² ∙ ƿ / 2, P₀ є те, що називається сумарним тиском і є сумою статичного тиску Р і динамічного тиску q.

Програми

Теорема Бернуллі має багато і різноманітних застосувань у таких різних галузях, як наука, техніка, спорт і т.д..

Цікавим є застосування в дизайні димарів. Димарі побудовані високо, щоб досягти більшої різниці тисків між базою і виходом димоходу, завдяки чому легше витягувати гази згоряння.

Звичайно, рівняння Бернуллі відноситься і до вивчення руху потоків рідини в трубах. З рівняння випливає, що зменшення поперечної поверхні труби, щоб збільшити швидкість пропускання через нього рідини, також передбачає зниження тиску.

Рівняння Бернуллі також використовується в авіації і в транспортних засобах Формули 1. У випадку авіації, ефект Бернуллі є джерелом підтримки літаків.

Крила літака спроектовані з метою досягнення більшого повітряного потоку у верхній частині крила.

Таким чином, у верхній частині крила швидкість повітря висока і, отже, більш низький тиск. Ця різниця в тиску створює силу, спрямовану вертикально вгору (підйомна сила), що дозволяє літаку тримати в повітрі. Подібний ефект отримано у елеронів автомобілів Формули-1.

Визначено вправу

Через трубу з поперечним перерізом 4,2 см² потік води тече при 5,18 м / с. Вода спускається з висоти 9,66 м до нижнього рівня з висотою нуля, а поперечна поверхня трубки збільшується до 7,6 см.².

a) Розрахуйте швидкість потоку води на нижньому рівні.

b) Визначити тиск на нижньому рівні, знаючи, що тиск у верхньому рівні становить 152000 Па.

Рішення

а) Оскільки потік має бути збережений, виконується таке:

Q_{верхній рівень} = Q_{нижній рівень}

 v₁ . S₁ = v₂ . S₂

 5,18 м / с. 4,2 см² = v₂ . 7,6 см ^²

Очищаючи, ви отримуєте, що:

v₂ = 2,86 м / с

б) Застосування теореми Бернуллі між двома рівнями і з урахуванням того, що щільність води становить 1000 кг / м³ , ви отримуєте, що:

v₁² Ƿ / 2 + P₁ + ∙ g ∙ z₁ = v₂² Ƿ / 2 + P₂ + ∙ g ∙ z₂

(1/2). 1000 кг / м³ . (5,18 м / с)² + 152000 + 1000 кг / м³ . 10 м / с² . 9,66 м =

= (1/2). 1000 кг / м³ . (2,86 м / с)² + P₂ + 1000 кг / м³ . 10 м / с² . 0 м

Очищення P₂ Ви отримуєте:

P₂ = 257926,4 Па

Список літератури

1. Принцип Бернуллі. (n.d.). У Вікіпедії. Отримано 12 травня 2018 року з es.wikipedia.org.
2. Принцип Бернуллі. (n.d.). У Вікіпедії. Отримано 12 травня 2018 року з en.wikipedia.org.
3. Batchelor, G.K. (1967). Вступ до динаміки рідини. Cambridge University Press.
4. Lamb, H. (1993). Гідродинаміка (6-е изд.). Cambridge University Press.
5. Мотт, Роберт (1996). Механіка прикладних рідин (4-е изд.). Мексика: Освіта Пірсона.