Склад, типи та приклади ізометричних перетворень



The Ізометричні перетворення це зміни положення або орієнтації певної фігури, які не змінюють ні форми, ні розміру. Ці перетворення поділяються на три типи: переклад, обертання і відображення (ізометрія). Загалом, геометричні перетворення дозволяють створювати нову фігуру з іншої заданої.

Перетворення в геометричну фігуру означає, що, певним чином, воно зазнало певних змін; тобто, що вона була змінена. Відповідно до сенсу оригіналу і аналогічного в площині, геометричні перетворення можна розділити на три типи: ізометричний, ізоморфний і анаморфний..

Індекс

  • 1 Характеристики
  • 2 типи
    • 2.1 За допомогою перекладу
    • 2.2 Поворотом
    • 2.3 За допомогою відображення або симетрії
  • 3 Композиція
    • 3.1 Склад перекладу
    • 3.2 Склад обертання
    • 3.3 Склад симетрії
  • 4 Посилання

Особливості

Ізометричні перетворення відбуваються при збереженні величин сегментів і кутів між вихідною фігурою і перетвореною..

У цьому типі трансформації не змінюється ні форма, ні розмір фігури (вони конгруентні), це лише зміна положення фігури, або в орієнтації, або в напрямку. Таким чином, початкові і кінцеві цифри будуть подібними і геометрично конгруентними.

Ізометрія відноситься до рівності; тобто, геометричні фігури будуть ізометричними, якщо вони мають однакову форму і розмір.

У ізометричних перетвореннях єдине, що можна спостерігати - це зміна положення в площині, відбувається жорсткий рух, завдяки якому фігура йде від початкового положення до кінцевого. Ця цифра називається гомологічною (аналогічною) оригіналу.

Існують три типи рухів, які класифікують ізометричне перетворення: переклад, обертання і відображення або симетрія.

Типи

Перекладом

Є ті ізометрії, які дозволяють рухатися по прямій лінії всіх точок площини в заданому напрямку і відстані.

Коли фігура перетворюється за допомогою перекладу, вона не змінює своєї орієнтації по відношенню до початкового положення, а також не втрачає своїх внутрішніх мір, міри його кутів і сторін. Цей тип зміщення визначається трьома параметрами:

- Адреса, яка може бути горизонтальною, вертикальною або косою.

- Сенс, який може бути ліворуч, праворуч, вгору або вниз.

- Відстань або величина, яка є довжиною від початкового положення до кінця будь-якої точки, що рухається.

Для виконання ізометричного перетворення за допомогою перекладу він повинен відповідати наступним умовам:

- Фігура повинна завжди зберігати всі свої розміри, як лінійні, так і кутові.

- Фігура не змінює свого положення по відношенню до горизонтальної осі; його кут ніколи не змінюється.

- Переклади завжди будуть узагальнюватися в одному, незалежно від кількості виконаних перекладів.

У площині, де центр є точкою O, з координатами (0,0), переклад визначається вектором T (a, b), що вказує на зміщення початкової точки. Тобто:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Наприклад, якщо трансляція T (-4, 7) застосовується до координатної точки P (8, -2), то отримаємо:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

На наступному зображенні (ліворуч) можна бачити, як точка С рухалася, щоб збігатися з точкою D. Це було зроблено у вертикальному напрямку, напрямок було вгору, а відстань або величина CD була 8 метрів. У правому зображенні спостерігається переклад трикутника:

За обертанням

Це ті ізометриї, які дозволяють фігурі обертати всі точки площини. Кожна точка обертається за дугою, яка має постійний кут і визначається фіксована точка (центр обертання).

Тобто, все обертання буде визначатися його центром обертання і кутом повороту. Коли фігура трансформується обертанням, вона зберігає міру її кутів і сторін.

Обертання відбувається в певному напрямку, позитивне, коли обертання проти годинникової стрілки (всупереч тому, як обертаються руки годинника) і негативне, коли його обертання за годинниковою стрілкою.

Якщо точка (x, y) обертається відносно початку - тобто її центр обертання дорівнює (0,0) -, під кутом 90o до 360o Координати точок будуть:

У випадку, якщо обертання не має центру в початковому положенні, то початок системи координат повинен бути переданий новому даному походженню, щоб мати можливість обертати фігуру, яка має в центрі її початок.

Наприклад, якщо точці P (-5.2) дається обертання 90o, навколо походження і в позитивному сенсі його нові координати будуть (-2,5).

За допомогою відображення або симетрії

Це ті перетворення, які перевертають точки і фігури площини. Ця інвестиція може бути по відношенню до точки або вона може бути також відносно прямої.

Іншими словами, при цьому типі перетворення кожна точка вихідної фігури пов'язана з іншою точкою (зображенням) гомологічної фігури, таким чином, що точка і її зображення знаходяться на однаковій відстані від лінії, що називається осі симетрії..

Таким чином, ліва частина фігури буде відображенням правої частини, не змінюючи її форми або її розмірів. Симетрія перетворює одну фігуру в іншу, хоча й у зворотному напрямку, як це видно з наступного зображення:

Симетрія присутня в багатьох аспектах, як у деяких рослин (соняшник), тварин (павич) і природних явищ (сніжинки). Людина відображає його на обличчі, що вважається фактором краси. Відображення або симетрія можуть бути двох типів:

Центральна симетрія

Саме це перетворення відбувається відносно точки, в якій фігура може змінювати свою орієнтацію. Кожна точка вихідної фігури і її зображення знаходяться на однаковій відстані від точки O, званої центром симетрії. Симетрія є центральною, коли:

- І точка, і її зображення, і центр належать до однієї лінії.

- З обертанням 180o центр O ви отримаєте цифру, рівну оригіналу.

- Штрихи початкової фігури паралельні штрихам сформованої фігури.

- Сенс фігури не змінюється, він завжди буде за годинниковою стрілкою.

Це перетворення відбувається щодо осі симетрії, де кожна точка початкової фігури пов'язана з іншою точкою зображення, і вони знаходяться на однаковій відстані від осі симетрії. Симетрія є осьовою, коли:

- Сегмент, що з'єднує точку з її зображенням, перпендикулярний його осі симетрії.

- Цифри змінюють напрямок відносно повороту або за годинниковою стрілкою.

- При поділі фігури на центральну лінію (вісь симетрії) одна з отриманих половинок повністю збігається з іншою половиною.

Композиція

Композиція ізометричних перетворень відноситься до послідовного застосування ізометричних перетворень на одній і тій же фігурі.

Склад перекладу

Склад двох перекладів призводить до іншого перекладу. Коли виконано на площині, на горизонтальній осі (x) змінюються тільки координати цієї осі, тоді як координати вертикальної осі (y) залишаються тими ж, і навпаки.

Склад обертання

Склад двох оборотів з одним і тим же центром призводить до чергового повороту, який має той же центр, а амплітуда якого буде сумою амплітуд двох оборотів..

Якщо в центрі повороти будуть різні центри, розріз бісектриси двох сегментів подібних точок буде центром повороту.

Склад симетрії

У цьому випадку композиція буде залежати від того, як вона буде застосована:

- Якщо однакова симетрія застосовується двічі, результатом буде ідентифікація.

- Якщо застосовуються дві симетрії відносно двох паралельних осей, результат буде перекладом, а його зміщення вдвічі перевищує відстань цих осей:

- При застосуванні двох симетрій відносно двох осей, які вирізаються в точці O (центрі), буде отримано обертання з центром на O і його кут буде в два рази більше кута, утвореного осями:

Список літератури

  1. V Burgués, J.F. (1988). Матеріали для побудови геометрії. Мадрид: синтез.
  2. Сезар Калавера, І. Я. (2013). Технічний малюнок II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Основи геометрії Мексика: Limusa-Wiley.
  4. Коксфорд, А. (1971). Підхід до трансформації геометрії. США: Брати Лайдлоу.
  5. Ліліана Сінеріз, Р. С. (2005). Індукція і формалізація в навчанні жорстких перетворень в середовищі CABRI.
  6. , P. J. (1996). Група плоских ізометрій. Мадрид: синтез.
  7. Suárez, A.C. (2010). Перетворення в площині. Гурабо, Пуерто-Рико: AMCT .