Перетворене визначення Лапласа, історія, для чого вона є, властивості



The перетворений з Лапласа був в останні роки великого значення в інженерних дослідженнях, математика, фізика, серед інших наукових областей, а також є великим інтересом в теорії, забезпечує простий спосіб вирішення проблем, які приходять від науки і техніки.

Спочатку перетворення Лапласа було представлено П'єром-Саймоном Лапласом у своєму дослідженні теорії ймовірності і спочатку розглядалося як математичний об'єкт лише теоретичного інтересу.

Сучасні застосування виникають тоді, коли різні математики намагалися дати формальне обґрунтування «експлуатаційним правилам», які використовує Хевісайд у вивченні рівнянь електромагнітної теорії..

Індекс

  • 1 Визначення
    • 1.1 Приклади
    • 1.2 Теорема (Достатні умови існування)
    • 1.3 Перетворення Лапласа деяких базових функцій
  • 2 Історія
    • 2.182, Лаплас
    • 2.2 Олівер Хевісайд
  • 3 Властивості
    • 3.1 Лінійність
    • 3.2 Теорема першого перекладу
    • 3.3. Теорема другого перекладу
    • 3.4 Зміна масштабу
    • 3.5 Трансформація Лапласа похідних
    • 3.6 Перетворення інтегралів Лапласа
    • 3.7 Множення на tn
    • 3.8 Поділ на t
    • 3.9 Періодичні функції
    • 3.10 Поведінка F (s), коли s прагне до нескінченності
  • 4 Зворотні перетворення
    • 4.1 Вправа
  • 5 Застосування перетворення Лапласа
    • 5.1 Диференціальні рівняння
    • 5.2 Системи диференціальних рівнянь
    • 5.3 Механіка та електричні схеми
  • 6 Посилання

Визначення

Нехай f - функція, визначена для t ≥ 0. Перетворення Лапласа визначається наступним чином:

Кажуть, що перетворення Лапласа існує, якщо попередній інтеграл сходиться, інакше кажуть, що перетворення Лапласа не існує.

Загалом, для позначення функції, яку потрібно перетворити, використовуються малі літери, а верхня літера відповідає її перетворенню. Таким чином ми матимемо:

Приклади

Розглянемо постійну функцію f (t) = 1. Ми маємо, що її перетворення:

Всякий раз, коли інтеграл сходиться, це завжди, якщо s> 0. В іншому випадку, s < 0, la integral diverge.

Нехай g (t) = t. Ваше перетворення Лапласа дається

Інтегруючи по частинах і знаючи, що ви-вул вона прагне до 0, коли t прагне до нескінченності, а s> 0, разом з попереднім прикладом, має:

Перетворення може або не може існувати, наприклад, для функції f (t) = 1 / t інтеграл, який визначає його перетворення Лапласа, не збігається і тому його перетворення не існує.

Достатні умови для забезпечення існування перетворення Лапласа функції f полягають у тому, що f є неперервним за частинами при t ≥ 0 і має експоненціальний порядок.

Кажуть, що функція є неперервною за частинами для t ≥ 0, коли для будь-якого інтервалу [a, b] з a> 0 існує кінцеве число точок tk, де f має розриви і є безперервним у кожному підінтервалі [tk-1,tk].

З іншого боку, сказано, що функція має експоненціальний порядок c, якщо існують реальні константи M> 0, c і T> 0 такі, що:

Як приклади ми маємо, що f (t) = t2 має експоненційний порядок, оскільки | t2| < e3т для всіх t> 0.

Формально ми маємо наступну теорему

Теорема (Достатні умови існування)

Якщо f є безперервною функцією на частину для t> 0 і експоненціального порядку c, то існує перетворення Лапласа для s> c.

Важливо підкреслити, що це умова достатності, тобто може бути те, що існує функція, яка не відповідає цим умовам і навіть тоді її перетворення Лапласа існує..

Прикладом цього є функція f (t) = t-1/2 що не є безперервним за частинами для t ≥ 0, але його перетворення Лапласа існує.

Перетворення Лапласа деяких базових функцій

Наступна таблиця показує перетворення Лапласа з найбільш поширених функцій.

Історія

Перетворення Лапласа імені П'єр-Симон Лаплас, французький математик і теоретичний астроном, який народився в 1749 і помер в 1827 році Його слава році була така, що він був відомий як Ньютон Франції.

У 1744 році Леонард Ейлер присвятив свої дослідження інтегралам з формою

як рішення звичайних диференціальних рівнянь, але швидко відмовилися від цього дослідження. Пізніше Джозеф Луї Лагранж, який дуже захоплювався Ейлером, також досліджував цей тип інтегралів і пов'язував їх з теорією ймовірності..

1782, Лаплас

У 1782 році почав вивчати інтеграли Лапласа, такі як рішення для диференціальних рівнянь і на думку істориків, в 1785 році він вирішив переформулювати проблему, яка потім народила перетворення Лапласа, як вона розуміється сьогодні.

Введена в область теорії ймовірностей, вона мала інтерес для вчених того часу і розглядалася лише як математичний об'єкт лише теоретичного інтересу..

Олівер Хевісайд

Саме в середині XIX століття англійський інженер Олівер Хевісайд виявив, що диференційні оператори можуть розглядатися як алгебраїчні змінні, що дає їх сучасним застосуванням перетворення Лапласа..

Олівер Хевісайда був фізик, інженер-електрик і математик англієць народився в 1850 році і помер в Лондоні в 1925 році Намагаючись вирішувати диференціальні рівняння, що застосовуються до теорії коливань і досліджень з використанням Лапласа, приступили до формування Сучасні застосування перетворень Лапласа.

Результати, представлені Heaviside швидко поширився по всьому науковому співтовариству того часу, але, як його робота не була строгою, її швидко критикували більш традиційні математики..

Однак корисність роботи Хевісайда у вирішенні рівнянь фізики зробила його популярним у фізиків та інженерів.

Незважаючи на ці невдачі і після кількох десятиліть невдалих спроб, на початку 20-го століття може бути надано суворі обґрунтування правил експлуатації, які дав Хевісайд..

Ці спроби окупилися завдяки зусиллям різноманітних математиків, таких як Бромвіч, Карсон, ван дер Пол, серед інших..

Властивості

Серед властивостей перетворення Лапласа виділяються наступні:

Лінійність

Нехай c1 і c2 - константи, а функції f (t) і g (t), у яких перетворення Лапласа є F (s) і G (s) відповідно, то ми повинні:

У зв'язку з цим властивістю сказано, що перетворення Лапласа є лінійним оператором.

Приклад

Теорема першого перекладу

Якщо трапиться так:

А "a" - це будь-яке реальне число, а потім:

Приклад

Як перетворення Лапласа cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), то:

Друга теорема перекладу

Так

Потім

Приклад

Якщо f (t) = t ^ 3, то F (s) = 6 / s ^ 4. І тому перетворення Росії

G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Зміна масштабу

Так

А "а" - це ненульовий реальний, ми повинні

Приклад

Оскільки перетворення f (t) = sin (t) є F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), воно має бути

перетворення Лапласа похідних

Якщо f, f ', f', ..., f(n) є неперервними для t ≥ 0 і мають експоненціальний порядок і f(n)(t) є неперервним у частинах для t ≥ 0, то

Перетворення інтегралів Лапласа

Так

Потім

Множення на tn

Якщо треба

Потім

Поділ на т

Якщо треба

Потім

Періодичні функції

Нехай f - періодична функція з періодом T> 0, тобто f (t + T) = f (t)

Поведінка F (s) при s прагне до нескінченності

Якщо f є безперервним за частинами і експоненціальним порядком і

Потім

Зворотні перетворення

Коли ми застосуємо перетворення Лапласа до функції f (t), отримаємо F (s), що представляє це перетворення. Так само можна сказати, що f (t) - це зворотне перетворення Лапласа F (s) і записано як

Відомо, що перетворення Лапласа f (t) = 1 і g (t) = t є F (s) = 1 / s і G (s) = 1 / s2 відповідно, тому ми повинні

Деякі загальні зворотні перетворення Лапласа такі

Крім того, зворотне перетворення Лапласа є лінійним, тобто виконується

Вправа

Знайти

Щоб вирішити цю вправу, ми повинні відповідати функції F (s) з однією з попередньої таблиці. У цьому випадку, якщо взяти n + 1 = 5 і скористатися властивістю лінійності оберненого перетворення, ми множимо і ділимо на 4! Отримання

Для другого зворотного перетворення ми застосовуємо часткові дроби для переписування функції F (s), а потім властивості лінійності, отримуючи

Як ми бачимо з цих прикладів, загальноприйнята, що оцінювана функція F (s) не узгоджується з будь-якою з функцій, наведених у таблиці. Для цих випадків, як це спостерігається, досить переписати функцію до досягнення відповідної форми.

Застосування перетворення Лапласа

Диференціальні рівняння

Основне застосування перетворень Лапласа полягає у вирішенні диференціальних рівнянь.

Використовуючи властивість перетворення похідної, зрозуміло, що

А похідних n-1 оцінювали при t = 0.

Це властивість робить перетворення дуже корисним для розв'язання задач початкових значень, де задіяні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами.

Наступні приклади показують, як використовувати перетворення Лапласа для вирішення диференціальних рівнянь.

Приклад 1

З огляду на наступне початкове значення проблеми

Використовуйте перетворення Лапласа, щоб знайти рішення.

Ми застосуємо перетворення Лапласа до кожного члена диференціального рівняння

Для властивості перетворення похідної ми маємо

Розвиваючи все вираз і очищаючи А, ми залишаємося

Використовуючи часткові фракції, щоб переписати праву частину отриманого рівняння

Нарешті, наша мета - знайти функцію y (t), яка задовольняє диференціальне рівняння. Використання зворотного перетворення Лапласа дає нам результат

Приклад 2

Вирішіть

Як і в попередньому випадку, ми застосовуємо перетворення з обох сторін рівняння і окремий термін за терміном.

Таким чином ми маємо в результаті

Підставляючи задані початкові значення та очищаючи Y (s)

Використовуючи прості дроби, можна переписати рівняння наступним чином

І застосування зворотного перетворення Лапласа дає нам в результаті

У цих прикладах можна прийти до помилкового висновку, що цей метод не набагато краще, ніж традиційні методи вирішення диференціальних рівнянь.

Переваги, які надає перетворення Лапласа, полягають у тому, що не потрібно використовувати зміну параметрів або турбуватися про різні випадки методу невизначеного коефіцієнта..

Окрім розв'язання задач початкового значення цим методом, з самого початку ми використовуємо початкові умови, тому не потрібно виконувати інші розрахунки, щоб знайти конкретне рішення..

Системи диференціальних рівнянь

Перетворення Лапласа можна також використовувати для пошуку рішень для одночасних звичайних диференціальних рівнянь, як показано в наступному прикладі.

Приклад

Вирішіть

При початкових умовах x (0) = 8 e і (0) = 3.

Якщо треба

Потім

Вирішення результатів у нас

І при застосуванні зворотного перетворення Лапласа ми маємо

Механіка та електричні схеми

Перетворення Лапласа має велике значення у фізиці, головним чином має застосування для механічних і електричних ланцюгів.

Проста електрична схема складається з наступних елементів

Перемикач, батарея або джерело, індуктор, резистор і конденсатор. При закритті перемикача виробляється електричний струм, який позначається i (t). Заряд конденсатора позначається q (t).

За другим законом Кірхгофа напруга, що виробляється джерелом Е в замкнутому контурі, повинна бути дорівнює сумі кожного з перепадів напруги.

Електричний струм i (t) пов'язаний з зарядом q (t) в конденсаторі i = dq / dt. З іншого боку, падіння напруги визначається в кожному з елементів наступним чином:

Падіння напруги в резисторі - iR = R (dq / dt)

Падіння напруги в індукторі становить L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Падіння напруги в конденсаторі становить q / c

За допомогою цих даних і застосування другого закону Кірхгофа до замкнутої простої схеми отримано диференціальне рівняння другого порядку, що описує систему і дозволяє визначити значення q (t).

Приклад

Індуктор, конденсатор і резистор з'єднані з акумулятором Е, як показано на малюнку. Індуктор має 2 генрі, конденсатор 0,02 фарада і опір 16 омм. У момент часу t = 0 контур закривається. Знайдіть навантаження і струм в будь-який момент часу t> 0, якщо E = 300 вольт.

Ми маємо, що диференціальне рівняння, яке описує цю схему, є наступним

Де початковими умовами є q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Застосовуючи перетворення Лапласа, ми отримуємо це

І очищення Q (t)

Потім, застосовуючи зворотне перетворення Лапласа, ми маємо

Список літератури

  1. G. Holbrook, J. (1987). Перетворення Лапласа для інженерів електроніки. Вапно.
  2. Руїс, Л. М., і Ернандес, М. П. (2006). Диференціальні рівняння та перетворення Лапласа з додатками. Редакція UPV.
  3. Сіммонс, Г. Ф. (1993). Диференціальні рівняння з додатками та історичними записками. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Перетворення Лапласа. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). Диференціальні рівняння з проблемами значень на кордоні. Cengage Learning Editores, S.A..