Трійця форми x ^ 2 + bx + c (з прикладами)

Перш ніж навчитися вирішувати тричності виду x ^ 2 + bx + c, і навіть перед тим, як пізнати концепцію тринома, важливо знати два суттєвих поняття; а саме поняття мономіального і поліноміального. Моном є виразом типу a * xⁿ, де a - раціональне число, n - натуральне число, а x - змінна.

Поліном - це лінійна комбінація мономів виду a_n* xⁿ+a_n-1* x^n-1+... + a₂* x²+a₁* x + a₀, де кожен a_i, з i = 0, ..., n - раціональне число, n - натуральне число, a_n - ненульове значення. У цьому випадку говориться, що ступінь полінома дорівнює n.

Поліном, утворений сумою лише двох членів (двох мономів) різного ступеня, відомий як біном.

Індекс

• 1 Триноми
  • 1.1 Ідеальний квадратний трином
• 2 Характеристика трьохрівнів 2 класу
  • 2.1 Ідеальний квадрат
  • 2.2 Формула розчинника
  • 2.3 Геометрична інтерпретація
  • 2.4 Факторизація триномів
• 3 Приклади
  • 3.1 Приклад 1
  • 3.2 Приклад 2
• 4 Посилання

Тріноми

Поліном, утворений сумою лише трьох членів (трьох мономів) різного ступеня, відомий як тріном. Нижче наведено приклади трійонів:

• x³+x²+5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+6x + 3

Існує кілька типів триномів. З них виділяється ідеальний квадратний трином.

Ідеальний квадратний трином

Ідеальний квадратний тріном є результатом підняття двочленного квадрата. Наприклад:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+y)²= 4х⁶+4x³y + y²
• (4x²-2й⁴)²= 16x⁴-16x²і⁴+4й⁸
• 1 / 16x²і⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1/4xy⁴)²-2 (1/4xy⁴) z + z²= (1/4xy⁴-z)²

Характеристика тріонів 2 класу

Ідеальний квадрат

Взагалі, тріном форма сокири²+bx + c - ідеальний квадрат, якщо його дискримінант дорівнює нулю; тобто, якщо b²-4ac = 0, оскільки в цьому випадку він буде мати тільки один корінь і може бути виражений у вигляді a (x-d)²= ((A (x-d))², де d - вже згаданий корінь.

Корінь полінома - це число, в якому поліном стає нулем; іншими словами, число, що, замінюючи його на x у виразі полінома, призводить до нуля.

Формула розчинника

Загальна формула для обчислення коренів полінома другого ступеня форми ax²+bx + c - формула резольвера, в якій зазначається, що ці корені задаються через (-b ± √ (b)²-4ac)) / 2a, де b²-4ac відомий як дискримінант і зазвичай позначається Δ. З цієї формули випливає, що сокира²+bx + c має:

- Два різних реальних кореня, якщо Δ> 0.

- Єдиний реальний корінь, якщо Δ = 0.

- Вона не має реального кореня, якщо Δ<0.

Далі ми розглянемо лише трійони виду x²+bx + c, де чітко c має бути ненульовим числом (інакше це буде біноміальним). Цей тип триномів має певні переваги при факторингу і роботі з ними.

Геометрична інтерпретація

Геометрично тричлен x²+bx + c - парабола, яка відкривається вгору і має вершину в точці (-b / 2, -b)²/ 4 + c) декартової площини, оскільки x²+bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Ця парабола розрізає вісь Y в точці (0, c) і осі X в точках (d₁,0) і (d)₂,0); тоді, d₁ і d₂ вони є корінням триноми. Може трапитися так, що в трійці є єдиний корінь d, у цьому випадку єдиний розріз з віссю X буде (d, 0).

Також може статися, що у тріномі немає реальних коренів, і в цьому випадку вона не буде скорочувати осі X у будь-якій точці..

Наприклад, x²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² - парабола з вершиною в (-3,0), яка розрізає вісь Y в (0,9) і вісь X в (-3,0).

Тричленная факторизація

Дуже корисним інструментом при роботі з поліномами є факторинг, який полягає у вираженні полінома як добутку факторів. Взагалі, дано тричлен виду x²+bx + c, якщо це має два різних коріння d₁ і d₂, вона може бути врахована як (x-d)₁) (x-d)₂).

Якщо у вас є лише один корінь d, ви можете вказати його як (x-d) (x-d) = (x-d)², і якщо він не має реальних коренів, він залишається тим самим; в цьому випадку він не підтримує факторизацію як продукт факторів, відмінних від себе.

Це означає, що, знаючи коріння триноменів вже встановленої форми, її факторизація може бути легко виражена, і, як вже було сказано, ці корені завжди можуть бути визначені за допомогою резольвента.

Проте існує значна кількість подібного роду триномів, які можуть бути враховані без необхідності заздалегідь знати їх коріння, що спрощує роботу.

Коріння можуть бути визначені безпосередньо з факторизації без необхідності використовувати формулу резольвера; це поліноми виду x² +(a + b) x + ab. У цьому випадку ви маєте:

x²+(a + b) x + ab = x²+ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Звідси легко помітити, що коріння -a і -b.

Іншими словами, дано тричлен х²+bx + c, якщо є два числа u та v, що c = uv та b = u + v, то x²+bx + c = (x + u) (x + v).

Тобто дається тричлен х²+bx + c, спочатку перевіряють, чи існують два числа, такі, що множать den незалежний член (c) і додають (або віднімають, в залежності від випадку), дають термін, що супроводжує x (b).

Цей метод не можна застосовувати у всіх трьох сегментах; де ви не можете, ви йдете в резольвенту і застосовуєте вищезгадане.

Приклади

Приклад 1

Фактор наступний тричлен x²+3x + 2 ми виконуємо наступне:

Ви повинні знайти два числа так, що коли ви їх додаєте, то результат буде 3, а коли ви їх помножите, результат буде 2.

Після перевірки можна зробити висновок, що шукані числа: 2 і 1. Отже, x²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Приклад 2

Для фактора тріумна x²-5x + 6 шукаємо два числа, сума яких дорівнює -5, а її продукт - 6. Число, що відповідає цим умовам, - -3 і -2. Отже, факторизація даного тричлена дорівнює x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

Список літератури

1. Джерела, А. (2016). ОСНОВНА МАТЕМАТИКА. Вступ до розрахунку. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Математика: квадратичні рівняння: Як вирішити квадратичне рівняння. Маріль Гаро.
3. Haeussler, Е. F., & Paul, R. S. (2003). Математика для управління та економіки. Освіта Пірсона.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕР. Поріг.
5. Preciado, C. T. (2005). Курс математики 3о. Редакція Progreso.
6. Рок, М. М. (2006). Алгебра Я Легка! Так легко. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Алгебра і тригонометрія. Освіта Пірсона.