Рівномірний трикутник характеристики, формула і площа, розрахунок



A рівнобедреного трикутника Це тригранний багатокутник, де два з них мають однакове вимірювання, а третій - інше вимірювання. Ця остання сторона називається базовою. Завдяки цій характеристиці йому було дано таку назву, яка по-грецьки означає "рівні ноги"

Трикутники - це багатокутники, які вважаються найпростішими в геометрії, оскільки вони утворені трьома сторонами, трьома кутами і трьома вершинами. Це ті, які мають найменшу кількість сторін і кутів по відношенню до інших багатокутників, проте його використання дуже велике.

Індекс

  • 1 Характеристика рівнобедрених трикутників
    • 1.1 Компоненти
  • 2 Властивості
    • 2.1 Внутрішні кути
    • 2.2 Сума сторін
    • 2.3 Конгруентні сторони
    • 2.4 Конгруентні кути
    • 2.5 Висота, медіана, бісектриса і бісектриса співпадають
    • 2.6 Відносні висоти
    • 2.7 Ортоцентр, барицентр, стимул і окружність збігаються
  • 3 Як розрахувати периметр?
  • 4 Як розрахувати висоту?
  • 5 Як розрахувати площу?
  • 6 Як розрахувати основу трикутника?
  • 7 Вправи
    • 7.1 Перша вправа
    • 7.2 Друга вправа
    • 7.3 Третя вправа
  • 8 Посилання

Характеристика рівнобедрених трикутників

Рівнобедрений трикутник класифікувався за міркою його сторін як параметр, оскільки дві його сторони є конгруентними (вони мають однакову довжину).

Відповідно до амплітуди внутрішніх кутів, рівнобедрені трикутники класифікуються як:

  • Прямокутний трикутник: дві його сторони рівні. Один з його кутів прямий (90. \ To), а інші однакові (45o кожен з них)
  • Рівнобічний тупий кут трикутника: дві його сторони рівні. Один з його кутів тупий (> 90o).
  • Рівнобічний гострий кутовий трикутник: дві його сторони рівні. Всі його кути різкі (< 90o), де два мають однакові заходи.

Компоненти

  • Медіана: це лінія, яка виходить з середини однієї сторони і досягає протилежної вершини. Три медіани збігаються в точці, що називається центроїдом або центроїдом.
  • Бісектриса: - це промінь, що розділяє кут кожної вершини на два кути однакового розміру. Саме тому вона відома як вісь симетрії, і цей тип трикутників має лише одну.
  • Посередник: це відрізок, перпендикулярний стороні трикутника, який бере початок у середині цього. У трикутнику є три медіації, які збігаються в точці, що називається циркунцентро.
  • Висота: це лінія, що йде від вершини до сторони, яка є протилежною, а також ця лінія перпендикулярна цій стороні. Всі трикутники мають три висоти, які збігаються в точці, що називається ортоцентром.

Властивості

Рівнобічні трикутники визначені або ідентифіковані, оскільки вони мають декілька властивостей, що представляють їх, походять з теорем, запропонованих великими математиками:

Внутрішні кути

Сума внутрішніх кутів завжди дорівнює 180o.

Сума сторін

Сума заходів двох сторін завжди повинна бути більшою за міру третьої сторони, a + b> c.

Конгруентні сторони

Рівнобічні трикутники мають дві сторони з однаковою мірою або довжиною; тобто вони є конгруентними, а третя сторона відрізняється від них.

Конгруентні кути

Рівнобічні трикутники також відомі як трикутники з ізо-кутами, тому що вони мають два кути, що мають однаковий вимір (конгруент). Вони розташовані в основі трикутника, навпроти сторін, що мають однакову довжину.

Через це теорема, яка встановлює, що:

"Якщо трикутник має дві конгруентні сторони, кути, протилежні цим сторонам, також будуть конгруентними". Тому, якщо трикутник рівнобедрений, кути його підстав є конгруентними.

Приклад:

Наступний малюнок показує трикутник ABC. Відстежуючи бісектрису від вершини кута B до бази, трикутник ділиться на два трикутники, рівних BDA і BDC:

Таким чином, кут вершини B також був розділений на два рівні кути. Бісектриса тепер є стороною (BD), спільною між цими двома новими трикутниками, в той час як сторони AB і BC є конгруентними сторонами. Таким чином, ви маєте випадок конгруентності сторони, кута, сторони (LAL).

Це показує, що кути вершин A і C мають однакову міру, так само, як можна також показати, що, оскільки трикутники BDA і BDC є конгруентними, сторони AD і DC також конгруентні..

Висота, медіана, бісектриса і бісектриса співпадають

Лінія, що тягнеться від вершини, протилежної основи до середини основи рівнобедреного трикутника, одночасно є висотою, медіаною і бісектрисою, а також бісектрисою щодо протилежного кута бази.

Всі ці сегменти збігаються в тому, що їх представляє.

Приклад:

Наступний малюнок показує трикутник ABC з середньою точкою M, яка ділить базу на два сегменти BM і CM.

Коли ви малюєте відрізок від точки M до протилежної вершини, за визначенням ви отримуєте медіану AM, яка відносна вершині A і стороні BC.

Оскільки AM-сегмент розділяє трикутник ABC на два рівних трикутника AMB і AMC, це означає, що буде зроблений випадок бічної, кутової, бічної конгруентності і тому AM буде також бісектрисою BÂ.

Саме тому бісектриса завжди буде дорівнює медіані і навпаки.

AM-сегмент формує кути, які мають однакову міру для трикутників AMB і AMC; тобто, вони доповнюються таким чином, що міра кожного з них буде:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180o

2 * Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o . 2

Med. (AMC) = 90o

Можна знати, що кути, утворені сегментом AM відносно основи трикутника, є прямими, що вказує на те, що цей сегмент повністю перпендикулярний до бази..

Тому він представляє висоту і бісектрису, знаючи, що М є серединою.

Тому пряма AM:

  • Представляє висоту до н.е..
  • Це середній.
  • Він міститься в медіатрії БЦ.
  • Це бісектриса кута вершин Â

Відносна висота

Висоти, що відносяться до рівних сторін, також мають однакову міру.

Оскільки рівнобедрений трикутник має дві рівні сторони, їх дві відповідні висоти також будуть рівними.

Ортоцентр, барицентр, стимул і окружність збігаються

Оскільки висота, медіана, бісектриса і бісектриса відносно бази, одночасно представлені одним і тим же сегментом, ортоцентр, центроцентричний стимул і окружність будуть колінеарними точками, тобто вони будуть на одній лінії:

Як розрахувати периметр?

Периметр багатокутника обчислюється за сумою сторін.

Оскільки в цьому випадку рівнобедрений трикутник має дві сторони з однаковою мірою, його периметр обчислюється за такою формулою:

P = 2*(сторона a) + (сторона b).

Як розрахувати висоту?

Висота - лінія, перпендикулярна до бази, ділить трикутник на дві рівні частини, простягаючись до протилежної вершини.

Висота являє собою протилежну ніжку (a), половину підстави (b / 2) до сусідньої ніжки, а "a" - гіпотенуза.

Використовуючи теорему Піфагора, можна визначити значення висоти:

a2 + b2 = c2

Де:

a2 = висота (h).

b2 = b / 2.

c2 = сторона a.

Підставивши ці значення в теорему Піфагора, і очистивши висоту, ми маємо:

h2 + (b / 2)2 = a2

h2 + b2 / 4 = a2

h2 = a2 - b2 / 4

h = √ (a2 - b2 / 4).

Якщо відомий кут, утворений конгруентними сторонами, висоту можна обчислити за такою формулою:

Як розрахувати площу?

Площа трикутників завжди обчислюється за тією ж формулою, помножуючи базу на висоту і ділячи на дві:

Відомі випадки, коли відомі лише вимірювання двох сторін трикутника і кута, утвореного між ними. У цьому випадку для визначення площі необхідно застосувати тригонометричні співвідношення:

Як розрахувати підставу трикутника?

Оскільки рівнобедрений трикутник має дві однакові сторони, щоб визначити величину його базису, потрібно знати принаймні міру висоти або одного з його кутів.

Знаючи висоту, використовується теорема Піфагора:

a2 + b2 = c2

Де:

a2 = висота (h).

c2 = сторона a.

b2 = b / 2, невідомо.

Ми очистили b2 формули і ми повинні:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Оскільки це значення відповідає половині бази, воно повинно бути помножене на два, щоб отримати повну міру бази трикутника:

b = 2 * (. A2 - c2)

У випадку, коли відомі лише значення його рівних сторін і кут між ними, застосовується тригонометрія, яка простежує лінію від вершини до бази, яка розділяє рівнобедрений трикутник на два правильних трикутника.

Таким чином, половина бази розраховується за допомогою:

Можливо також, що відомо лише значення висоти і кута вершини, яка є протилежною до бази. У такому випадку тригонометрією може бути визначена база:

Вправи

Перша вправа

Знайдіть область трикутника ABC, знаючи, що дві його сторони вимірюють 10 см, а третя сторона - 12 см..

Рішення

Для знаходження площі трикутника необхідно розрахувати висоту за допомогою формули площі, яка пов'язана з теоремою Піфагора, оскільки значення кута, утвореного між рівними сторонами, невідомо..

Ми маємо такі дані рівнобедреного трикутника:

  • Рівні сторони (а) = 10 см.
  • Основа (b) = 12 см.

Значення у формулі замінюються:

Друга вправа

Довжина двох рівних сторін рівнобедреного трикутника становить 42 см, об'єднання цих сторін утворює кут 130o. Визначте значення третьої сторони, площі цього трикутника і периметра.

Рішення

У цьому випадку відомі вимірювання сторін і кут між ними.

Щоб дізнатися значення відсутньої сторони, тобто основи цього трикутника, лінія тягнеться перпендикулярно до нього, розділяючи кут на дві рівні частини, по одній для кожного правого трикутника, що формується.

  • Рівні сторони (а) = 42 см.
  • Кут (Ɵ) = 130o

Тепер за тригонометрією розраховується значення половини бази, що відповідає половині гіпотенузи:

Для обчислення площі необхідно знати висоту цього трикутника, яку можна розрахувати тригонометрією або теоремою Піфагора, тепер, коли значення бази вже визначено..

За тригонометрією це буде:

Розраховується периметр:

P = 2*(сторона a) + (сторона b).

P = 2* (42 см) + (76 см)

Р = 84 см + 76 см

Р = 160 см.

Третя вправа

Розрахуйте внутрішні кути рівнобедреного трикутника, знаючи, що кут підстави становить Â = 55o

Рішення

Для знаходження двох відсутніх кутів (Ô і) необхідно пам'ятати про два властивості трикутників:

  • Сума внутрішніх кутів кожного трикутника завжди буде = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • У рівнобедреному трикутнику кути підстави завжди збігаються, тобто вони мають однакову міру, отже:

 = Ô

Ê = 55o

Щоб визначити значення кута Ê, замінити значення інших кутів у першому правилі і очистити Ê:

55o + 55o + Ô = 180 o

110 o + Ô = 180 o

Ô = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.

Список літератури

  1. Álvarez, E. (2003). Елементи геометрії: з численними вправами і геометрією компаса. Університет Медельіна.
  2. Альваро Рендон, А. Р. (2004). Технічне креслення: діяльність ноутбука.
  3. Ангел А. Р. (2007). Елементарна алгебра Освіта Пірсона.
  4. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра і тригонометрія з аналітичною геометрією. Освіта Пірсона.
  5. Baldor, A. (1941). Алгебра Гавана: Культура.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Математика 2.
  7. Tuma, J. (1998). Підручник з інженерної математики. Wolfram MathWorld.