Особливості аксіоматичного методу, етапи, приклади



The аксіоматичний метод або також називається аксіоматикою - формальна процедура, яку використовують науки, за допомогою яких формулюються твердження або пропозиції, які називаються аксіомами, пов'язаними один з одним відношенням франшиз і які є основою гіпотези або умов певної системи.

Це загальне визначення повинно бути оформлене в межах еволюції, яку ця методологія мала протягом всієї історії. По-перше, існує древній метод або зміст, що народився в Стародавній Греції від Евкліда і пізніше розробив Аристотелем.

По-друге, вже в дев'ятнадцятому столітті поява геометрії з аксіомами відрізняється від такої Евкліда. І, нарешті, формальний або сучасний аксіоматичний метод, максимальним показником якого був Давид Гільберт.

Окрім свого розвитку з плином часу, ця процедура була основою дедуктивного методу, який використовувався в геометрії та логіці, де він виник. Він також використовувався у фізиці, хімії та біології.

І це навіть застосовувалося до юридичної науки, соціології та політичної економії. Проте в даний час його найважливішою сферою застосування є математика і символічна логіка і деякі галузі фізики, такі як термодинаміка, механіка, серед інших дисциплін.

Індекс

  • 1 Характеристики 
    • 1.1 Старий аксіоматичний метод або зміст 
    • 1.2 Неевклідовий аксіоматичний метод
    • 1.3 Сучасний або формальний аксіоматичний метод
  • 2 кроки 
  • 3 Приклади
  • 4 Посилання

Особливості

Хоча фундаментальною характеристикою цього методу є формулювання аксіом, вони не завжди розглядаються однаково.

Є деякі, які можуть бути визначені і побудовані довільним чином. І інші, відповідно до моделі, в якій розглядається її інтуїтивно гарантована істина.

Для того, щоб конкретно зрозуміти, з чого складається ця різниця та її наслідки, необхідно розглянути еволюцію цього методу.

Старий аксіоматичний метод або зміст 

Це є встановлений у Старої Греції навколо 5 віку BC. Сфера її застосування - геометрія. Основною роботою цієї стадії є Елементи Евкліда, хоча вважається, що перед ним, Піфагор, вже народила аксіоматичний метод.

Таким чином, греки сприймають певні факти як аксіоми, не вимагаючи ніяких логічних доказів, тобто без необхідності демонстрації, оскільки для них вони є очевидною істиною.

Зі свого боку Евкліди представляє п'ять аксіом для геометрії:

1-Враховуючи дві точки, є рядок, що містить або пов'язує їх.

2-Будь-який сегмент можна продовжувати безперервно на необмеженій лінії з обох сторін.

3 - Ви можете намалювати коло, який має центр в будь-якій точці і в будь-якому радіусі.

4-прямі кути однакові.

5-Приймаючи будь-яку пряму і будь-яку точку, що не в ній, існує пряма, паралельна тому і що містить цю точку. Дана аксіома відома, пізніше, як аксіома паралелей і була озвучена також як: через точку поза лінією можна намалювати одну паралель.

Однак, як Евклід, так і пізніше математики, згодні, що п'ята аксіома не так зрозуміла інтуїтивно, як інші 4. Навіть під час епохи Відродження намагається вивести п'яту частину з інших 4, але це неможливо..

Це зробило, що вже в дев'ятнадцятому столітті ті, хто стверджував, що п'ять були прихильниками евклідової геометрії, і ті, хто заперечував п'яту, були тими, хто створив неевклідові геометрії.

Неевклідовий аксіоматичний метод

Саме Микола Іванович Лобачевський, Янош Боляй та Йоганн Карл Фрідріх Гаусс бачать можливість побудови без суперечності геометрії, що походить від систем аксіом, відмінних від Евкліда. Це руйнує віру в абсолютну або апріорну істину аксіом і теорій, що походять від них.

Тому аксіоми починають замислюватися як вихідні точки даної теорії. Також обидва їх вибір і проблема їх дійсності так чи інакше починають ставитися до фактів поза аксіоматичною теорією..

Таким чином з'являються геометричні, алгебраїчні і арифметичні теорії, побудовані за допомогою аксіоматичного методу.

Ця стадія завершується створенням аксіоматичних систем для арифметики, таких як Джузеппе Пеано в 1891 році; геометрія Девіда Губерта в 1899 році; висловлювання і предикатні розрахунки Альфреда Норта Уайтхеда і Бертрана Рассела в Англії в 1910 році; аксіоматична теорія наборів Ернста Фрідріха Фердинанда Цермело в 1908 році.

Сучасний або формальний аксіоматичний метод

Саме Девід Хюберт ініціює концепцію формального аксіоматичного методу, що веде до його кульмінації, Девід Гільберт..

Саме Гільберт формалізує наукову мову, розглядаючи її висловлювання як формули або послідовності ознак, які самі по собі не мають сенсу. Вони лише набувають сенсу в певному тлумаченні.

"Основи геометрії"Пояснюється перший приклад цієї методології. Звідси геометрія стає наукою про чисті логічні наслідки, які витягуються з системи гіпотез або аксіом, краще сформульованих, ніж евклідова система.

Це пояснюється тим, що в старій системі аксіоматична теорія базується на свідченнях аксіом. Хоча фундамент формальної теорії дається демонстрацією непротирічності її аксіом.

Кроки

Процедура, що здійснює аксіоматичне структурування в рамках наукових теорій, визнає:

а-вибір певної кількості аксіом, тобто ряд положень певної теорії, прийнятих без необхідності демонструвати.

b-поняття, що входять до складу цих пропозицій, не визначаються в рамках даної теорії.

c-правила визначення і дедукції даної теорії фіксовані і дозволяють впроваджувати нові поняття в теорію і логічно виводити деякі положення з інших.

d-інші твердження теорії, тобто теорема, виводяться з a на основі c.

Приклади

Цей метод можна перевірити за допомогою демонстрації двох найбільш відомих теорем Евкліда: теореми про ногу і теореми про висоту..

Обидва вони випливають із спостереження цього грецького геометеру про те, що коли висота наноситься на гіпотенузу в правому трикутнику, два трикутники виглядають більше, ніж оригінал. Ці трикутники подібні один з одним і одночасно схожі на трикутник походження. Це припускає, що їх відповідні гомологічні сторони пропорційні.

Видно, що конгруентні кути в трикутниках таким чином перевіряють подібність, що існує між трьома трикутниками, задіяними згідно з критерієм подібності ААА. Цей критерій стверджує, що коли два трикутники мають всі свої однакові кути, вони схожі.

Як тільки трикутники виявляються подібними, можна встановити пропорції, вказані в першій теоремі. В ньому говориться, що в прямокутному трикутнику вимірювання кожного катету є геометрично пропорційним середнім між гіпотенузою і проекцією катету в ній..

Друга теорема - висота. Вона вказує, що будь-який правий трикутник висота, яка витягується відповідно до гіпотенузи, є геометричним пропорційним середнім між сегментами, які визначаються вказаним геометричним середнім значенням гіпотенузи.

Звичайно, обидві теореми мають численні застосування в усьому світі не тільки в галузі освіти, а й у техніці, фізиці, хімії та астрономії..

Список літератури

  1. Джованніні, Едуардо Н. (2014) Геометрія, формалізм і інтуїція: Давид Гільберт і формальний аксіоматичний метод (1895-1905). Журнал "Філософія", том 39 № 2, с.121-146. Взяті з revistas.ucm.es.
  2. Гільберт, Давид. (1918) Аксіоматична думка. У В. Евальд, редактор, від Канта до Гільберта: книга-джерело в основі математики. Том II, с. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Що таке аксіоматичний метод? Synthese, листопад 2011, том 189, с.69-85. Взяті з link.springer.com.
  4. Лопес Ернандес, Хосе. (2005). Вступ до філософії сучасного права. (с.48-49). Знято з books.google.com.ar.
  5. Ніренберг, Рікардо. (1996) Аксіоматичний метод, читаючи Рікардо Ніренберг, осінь 1996 року, університет в Олбані, проект Renaissance. Взяті з Albany.edu.
  6. Вентурі, Джорджо. (2015) Гільберт між формальною та неформальною стороною математики. Рукопис том. 38 немає. 2, Кампінас липень / серпень 2015. Взяті з scielo.br.