Теорема Больцано Пояснення, застосування та вправи розв'язані

The Теорема Больцано встановлює, що якщо функція є неперервною у всіх точках замкнутого інтервалу [a, b] і переконана, що зображення "a" і "b" (під функцією) мають протилежні знаки, то буде принаймні одна точка "C" у відкритому інтервалі (a, b), такий, що функція, оцінена в "c", буде дорівнює 0.

Ця теорема була проголошена філософом, богословом і математиком Бернардом Больцано в 1850 році. Цей учений, народжений у сучасній Чехії, був одним з перших математиків в історії, які зробили формальну демонстрацію властивостей безперервних функцій..

Індекс

• 1 Пояснення
• 2 Демонстрація
• 3 Для чого це??
• 4 Вправи вирішені
  • 4.1 Вправа 1
  • 4.2 Вправа 2
• 5 Посилання

Пояснення

Теорема Больцано також відома як теорема проміжних значень, яка допомагає у визначенні конкретних значень, зокрема нулів, певних реальних функцій реальної змінної..

У заданій функції f (x) продовжується, тобто f (a) і f (b) пов'язані кривою, де f (a) знаходиться нижче осі абсцис (негативно), а f (b) над віссю x (це позитивно) або навпаки, графічно буде розташована точка розрізу на осі x, яка буде представляти проміжне значення "c", яке буде між "a" і "b", а значення f (c) буде дорівнює 0.

Графічно аналізуючи теорему Больцано, ми можемо знати, що для кожної функції f безперервна визначається в інтервалі [a, b], де f (a)_*f (b) менше 0, буде існувати щонайменше один корінь "c" цієї функції в межах інтервалу (a, b).

Ця теорема не встановлює кількість точок, що існують у цьому відкритому інтервалі, тільки стверджує, що є принаймні 1 точка.

Демонстрація

Щоб довести теорему Больцано, без втрати спільності передбачається, що f (a) < 0 y f(b) > 0; таким чином, між "a" і "b" може бути багато значень, для яких f (x) = 0, але потрібно лише показати, що є.

Почніть з оцінки f у середній точці (a + b) / 2. Якщо f ((a + b) / 2) = 0, тест закінчується тут; інакше, тоді f ((a + b) / 2) є позитивним або негативним.

Вибирається одна з половин інтервалу [a, b], так що ознаки функції, оцінені на кінцях, різні. Цей новий інтервал буде [a1, b1].

Тепер, якщо f оцінюється в середній точці [a1, b1] не дорівнює нулю, то виконується така ж операція, як і раніше; вибирається одна половина цього інтервалу, що відповідає умові ознак. Бути цей новий інтервал [a2, b2].

Якщо цей процес триватиме, то буде прийнято два послідовності an і bn, так що:

an збільшується, а bn зменшується:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Якщо розрахувати довжину кожного інтервалу [ai, bi], вам доведеться:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Тому межа при n прагне до нескінченності (bn-an) дорівнює 0.

Використовуючи, що an зростає і обмежується, а bn зменшується і обмежується, має бути таке значення "c", що:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Межа a є "c", а межа bn також є "c". Тому, з урахуванням будь-якого δ> 0, завжди існує "n" таке, що інтервал [an, bn] міститься в межах інтервалу (c-δ, c + δ).

Тепер треба показати, що f (c) = 0.

Якщо f (c)> 0, то, оскільки f є неперервним, існує таке ε> 0, що f є позитивним протягом усього інтервалу (c-ε, c + ε). Однак, як зазначено вище, існує таке значення "n", що f змінює знак в [an, bn] і, крім того, [an, bn] міститься всередині (c-ε, c + ε), що є протиріччям.

Якщо f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 таке, що f є негативним протягом усього інтервалу (c-ε, c + ε); але існує таке значення "n", що f змінює знак [an, bn]. Виявляється, що [an, bn] міститься в межах (c-ε, c + ε), що також є протиріччям.

Отже, f (c) = 0 і це те, що ми хотіли продемонструвати.

Для чого це??

З його графічної інтерпретації теорема Больцано використовується для знаходження коренів або нулів у безперервній функції, через бісекцію (наближення), яка є інкрементним методом пошуку, який завжди розділяє інтервали на 2.

Потім візьміть інтервал [a, c] або [c, b], де відбувається зміна знака, і повторіть процес, поки інтервал не буде меншим і меншим, щоб можна було наблизитися до потрібного значення; тобто значення, яке виконує функція 0.

Таким чином, щоб застосувати теорему Больцано і таким чином знайти коріння, розділити нулі функції або дати рішення рівнянню, виконуються наступні кроки:

- Перевіряється, якщо f є безперервною функцією в інтервалі [a, b].

- Якщо інтервал не задано, слід знайти місце, де функція є безперервною.

- Перевіряється, якщо екстремуми інтервалу дають протилежні знаки при оцінці в f.

- Якщо протилежні знаки не отримані, інтервал повинен бути розділений на два підінтервали з використанням середини.

- Оцініть функцію в середній точці та переконайтеся, що гіпотеза Больцано виконана, де f (a) _* f (b) < 0.

- Залежно від знаку (позитивного або негативного) знайденого значення, процес повторюється з новим підінтервалом доти, доки згадана гіпотеза не буде виконана.

Вирішені вправи

Вправа 1

Визначимо, якщо функція f (x) = x² - 2, має щонайменше одне реальне рішення в інтервалі [1,2].

Рішення

Ми маємо функцію f (x) = x² - 2. Оскільки вона багаточлена, це означає, що вона є безперервною в будь-якому інтервалі.

Вас просять визначити, чи є у вас реальне рішення в інтервалі [1, 2], так що тепер вам потрібно лише замінити кінці інтервалу у функції, щоб дізнатися про них, і знати, чи відповідають вони умові:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (негативний)

f (2) = 2² - 2 = 2 (позитивний)

Отже, знак f (1) знак f (2).

Це гарантує, що існує принаймні одна точка "c", яка належить інтервалу [1,2], де f (c) = 0.

У цьому випадку значення "c" можна легко обчислити наступним чином:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Таким чином, √2 ≈ 1,4 належить до інтервалу [1,2] і задовольняє тому, що f ()2) = 0.

Вправа 2

Доведіть, що рівняння x⁵ + x + 1 = 0 має принаймні одне реальне рішення.

Рішення

Спочатку відзначимо, що f (x) = x⁵ + x + 1 - поліноміальна функція, що означає, що вона є безперервною у всіх дійсних числах.

У цьому випадку інтервал не задається, тому значення повинні бути обрані інтуїтивно, переважно близько до 0, щоб оцінити функцію і знайти зміни знака:

Якщо ви використовуєте інтервал [0, 1], ви повинні:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Оскільки зміна знака не відбувається, процес повторюється з іншим інтервалом.

Якщо ви використовуєте інтервал [-1, 0], ви повинні:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

У цьому інтервалі відбувається зміна знака: знак f (-1) ≠ знака f (0), що означає, що функція f (x) = x⁵ + x + 1 має принаймні один реальний корінь "c" в інтервалі [-1, 0], такий що f (c) = 0. Іншими словами, це правда, що x⁵ + x + 1 = 0 має реальне рішення в інтервалі [-1,0].

Список літератури

1. Бронштейн І, С. К. (1988). Посібник з математики для інженерів та студентів ... Редакційний MIR.
2. George, A. (1994). Математика і розум. Oxford University Press.
3. Ilín V, P.E. (1991). Математичний аналіз У трьох томах ...
4. Хесус Гомес, Ф. Г. (2003). Викладачі середньої освіти. Том II. MAD.
5. Матеос, М. Л. (2013). Основні властивості аналізу в R. Editores, 20 грудня.
6. Piskunov, N. (1980). Диференціальне та інтегральне числення ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Математика для економічного аналізу. Фелікс Варела.
8. Вільям Х. Баркер, Р. Х. (с.ф.). Безперервна симетрія: від Евкліда до Клейна. Американська математична соц.