Розподіл дискретних ймовірностей і вправ



The Дискретні розподіли ймовірностей є функцією, яка призначає кожному елементу X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., де X - задана дискретна випадкова величина, а S - його пробний простір, ймовірність того, що подія відбудеться. Цю функцію f X (S), визначену як f (xi) = P (X = xi), іноді називають масовою функцією ймовірності.

Ця маса ймовірностей зазвичай представляється у вигляді таблиці. Оскільки X є дискретною випадковою величиною, X (S) має кінцеве число подій або лічильну нескінченність. Серед найбільш поширених дискретних розподілів ймовірностей ми маємо рівномірний розподіл, біноміальний розподіл і розподіл Пуассона.

Індекс

  • 1 Характеристики
  • 2 типи
    • 2.1 Рівномірний розподіл по n точкам
    • 2.2 Біноміальний розподіл
    • 2.3 Розподіл Пуассона
    • 2.4. Гіпергеометричне розподіл
  • 3 Вправи вирішені
    • 3.1 Перша вправа
    • 3.2 Друга вправа
    • 3.3 Третя вправа
    • 3.4 Третя вправа
  • 4 Посилання

Особливості

Функція розподілу ймовірностей повинна відповідати наступним умовам:

Крім того, якщо X приймає лише кінцеве число значень (наприклад, x1, x2, ..., xn), то p (xi) = 0, якщо i> ny, отже, нескінченна серія умов b стає a кінцеві ряди.

Ця функція також виконує такі властивості:

Нехай B - подія, пов'язана з випадковою величиною X. Це означає, що B міститься в X (S). Зокрема, припустимо, що B = xi1, xi2, .... Тому:

Іншими словами: ймовірність події B дорівнює сумі імовірностей окремих результатів, пов'язаних з B.

З цього можна зробити висновок, що якщо a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

Типи

Рівномірний розподіл по n точкам

Кажуть, що випадкова величина X слідує за розподілом, який характеризується рівномірним у n точках, якщо кожному значенню присвоюється однакова ймовірність. Його масова функція ймовірності:

Припустимо, у нас є експеримент, який має два можливих результату, це може бути підкидання монети, можливими результатами якої є обличчя або штамп, або вибір цілого числа, результат якого може бути парним числом або непарним числом; цей тип експерименту відомий як тести Бернуллі.

Взагалі, два можливих наслідки називаються успіхом і невдачею, де p - ймовірність успіху і 1-p - невдача. Можна визначити ймовірність х успіхів у n Бернуллі-тестах, які незалежні один від одного з наступним розподілом.

Біноміальний розподіл

Саме ця функція являє собою ймовірність отримання x успіхів у n незалежних тестах Бернуллі, імовірність успіху яких є p. Його масова функція ймовірності:

Наступний графік представляє функціональну масу ймовірності для різних значень параметрів біноміального розподілу.

Наступне поширення має свою назву французькому математику Сімеону Пуассону (1781-1840), який отримав його як межу біноміального розподілу..

Розподіл Пуассона

Кажуть, що випадкова величина X має розподіл Пуассона параметра λ, коли він може приймати цілі позитивні значення 0,1,2,3, ... з наступною ймовірністю:

У цьому виразі λ - середнє число, що відповідає входженню події для кожної одиниці часу, а x - кількість разів, коли відбувається подія.

Його масова функція ймовірності:

Далі, графік, який представляє ймовірну масову функцію для різних значень параметрів розподілу Пуассона.

Зауважимо, що до тих пір, поки число успіхів є низьким і число n тестів, проведених у біноміальному розподілі, є високим, ми завжди можемо наблизити ці розподіли, оскільки розподіл Пуассона є межею біноміального розподілу..

Основна відмінність цих двох розподілів полягає в тому, що в той час як біном залежить від двох параметрів, а саме: n і p -, Пуассона залежить тільки від λ, який іноді називають інтенсивністю розподілу..

До цих пір ми говорили лише про розподіли ймовірностей для випадків, коли різні експерименти є незалежними один від одного; тобто, коли на результат одного не впливає якийсь інший результат.

Коли виникають експерименти, які не є незалежними, гіпергеометричний розподіл є дуже корисним.

Гіпергеометричний розподіл

Нехай N - загальна кількість об'єктів кінцевого множини, з яких ми певною мірою можемо ідентифікувати k з них, утворюючи підмножину K, доповнення якої утворено залишилися N-k елементами.

Якщо випадковим чином вибирати n об'єктів, то випадкова величина X, що представляє число об'єктів, що належать K в тому виборі, має гіпергеометричний розподіл параметрів N, n і k. Його масова функція ймовірності:

Наступний графік представляє функціональну масу ймовірності для різних значень параметрів гіпергеометричного розподілу.

Вирішені вправи

Перша вправа

Припустимо, що ймовірність того, що радіо трубка (покладена в певний тип обладнання) працює більше 500 годин, становить 0,2. Якщо випробовується 20 трубок, то ймовірність того, що точно k з них працюватиме більше 500 годин, k = 0, 1,2, ..., 20?

Рішення

Якщо X - це кількість трубок, які працюють більше 500 годин, будемо вважати, що X має біноміальний розподіл. Потім

І так:

При k≥11 ймовірності менше 0,001

Таким чином, ми бачимо, як зростає ймовірність того, що ці k працюють більше 500 годин, поки не досягне свого максимального значення (з k = 4), а потім почне зменшуватися..

Друга вправа

Монета викидається 6 разів. Коли результат буде дорогим, ми скажемо, що це успіх. Яка ймовірність виходу двох облич точно?

Рішення

Для цього випадку ми маємо, що n = 6, і ймовірність успіху і невдачі - p = q = 1/2

Отже, ймовірність задання двох граней (тобто k = 2) дорівнює

Третя вправа

Яка ймовірність знаходження принаймні чотирьох граней?

Рішення

Для цього випадку маємо, що k = 4, 5 або 6

Третя вправа

Припустимо, що 2% виробів, виготовлених на заводі, є дефектними. Знайдіть ймовірність Р, що є три дефектних елемента в вибірці з 100 найменувань.

Рішення

Для цього випадку можна було б застосувати біноміальний розподіл для n = 100 і p = 0.02, отримавши в результаті:

Однак, оскільки p малий, скористаємося наближенням Пуассона з λ = np = 2. Так,

Список літератури

  1. Кай Лай Чун Елементарна теорія доступності з стохастичними процесами. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Дискретна математика та її застосування. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Пол Л. Мейер. Вірогідність і статистичні застосування. S.A. МЕКСИКАНСЬКИЙ АЛЬАМБРА.
  4. Сеймур Ліпшуц 2000 Вирішені проблеми дискретного математики. McGRAW-HILL.
  5. Сеймур Ліпшуц Теорія і проблеми ймовірності. McGRAW-HILL.