Синтетичний метод відділення та вирішені вправи

The синтетичне поділ це простий спосіб ділення полінома P (x) на будь-який з видів d (x) = x - c. Це дуже корисний інструмент, оскільки, крім того, що дозволяє нам розділяти поліноми, він також дозволяє оцінювати поліном P (x) в будь-якому числі c, що, в свою чергу, говорить нам точно, якщо це число - нуль або не поліном.

Завдяки алгоритму поділу ми знаємо, що якщо у нас є два поліноми P (x) і d (x) Непостійні, є поліноми q (x) і r (x) унікальний, що правда, що P (x) = q (x) d (x) + r (x), де r (x) дорівнює нулю або менше q (x). Ці поліноми відомі як приватні та залишкові або відповідно.

У випадках, коли поліном d (x) має вигляд x-c, синтетичний поділ дає нам короткий спосіб пошуку, хто є q (x) і r (x).

Індекс

• 1 Метод синтетичного поділу
• 2 Вправи вирішені
  • 2.1 Приклад 1
  • 2.2 Приклад 2
  • 2.3 Приклад 3
  • 2.4 Приклад 4
• 3 Посилання

Метод синтетичного поділу

Нехай P (x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ у поліноміальному ми хочемо розділити і d (x) = x-c дільник. Для поділу за методом синтетичного поділу виконуємо наступне:

1 - Запишемо коефіцієнти P (x) у першому рядку. Якщо будь-яка потужність X не з'являється, ми ставимо нуль як його коефіцієнт.

2 - у другому ряду, ліворуч від a_n місце c і накреслити лінії поділу, як показано на наступному малюнку:

3- Знижуємо провідний коефіцієнт до третього ряду.

У цьому виразі b_n-1= a_n

4- Ми множимо c на провідний коефіцієнт b_n-1 і результат записується у другому рядку, але стовпець праворуч.

5- Додаємо стовпець, де написали попередній результат і результат ставимо під цю суму; тобто в тому ж стовпці, третій ряд.

Додавши, ми маємо в результаті_n-1+c * b_n-1, який для зручності будемо називати b_n-2

6- Ми помножуємо c на попередній результат і записуємо результат у його праворуч у другому рядку.

7- Повторюємо кроки 5 і 6, доки не досягнемо коефіцієнта a₀.

8- Напишіть відповідь; тобто приватне і залишок. Оскільки ми здійснюємо поділ многочлена ступеня n між многочленом ступеня 1, то маємо, що серйозний коефіцієнт ступеня n-1.

Коефіцієнти фактора-полінома будуть числами третього ряду, за винятком останнього, що буде залишковим поліномом або залишком поділу.

Вирішені вправи

Приклад 1

Виконайте наступний поділ методом синтетичного поділу:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

Рішення

Спочатку записуємо коефіцієнти дивідендів наступним чином:

Тоді ми напишемо c з лівого боку, у другому рядку разом з лініями поділу. У цьому прикладі c = -1.

Знижуємо провідний коефіцієнт (у цьому випадку b_n-1 = 1) і помножити на -1:

Ми записуємо ваш результат праворуч у другому рядку, як показано нижче:

Додаємо цифри до другого стовпця:

Помножимо 2 на -1 і запишемо результат у третій стовпець, другий рядок:

Додаємо до третього стовпця:

Ми продовжуємо аналогічно, поки не дійшли до останнього стовпця:

Отже, отримано останнє число - решту ділення, а решта числа - коефіцієнти факторного полінома. Це написано наступним чином:

Якщо ми хочемо перевірити, що результат правильний, достатньо перевірити, чи виконується наступне рівняння:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Таким чином, ми можемо переконатися, що отриманий результат правильний.

Приклад 2

Виконайте наступний поділ поліномів методом синтетичного поділу

(7x³-x + 2): (x + 2)

Рішення

У цьому випадку ми маємо термін x² вона не з'являється, тому будемо писати 0 як її коефіцієнт. Таким чином, поліном буде як 7х³+0x²-x + 2.

Ми записуємо їх коефіцієнти підряд, це:

Запишемо значення C = -2 у лівий бік у другому рядку і намалюємо лінії поділу.

Знижуємо провідний коефіцієнт b_n-1 = 7 і ми помножимо його на -2, записуючи його результат у другий ряд праворуч.

Ми додаємо та продовжуємо, як пояснювалося раніше, доки не дійшли до останнього терміну:

У цьому випадку решта r (x) = - 52, а отриманий коефіцієнт q (x) = 7x²-14x + 27.

Приклад 3

Іншим способом використання синтетичного поділу є наступне: припустимо, що ми маємо многочлен P (x) ступеня n і хочемо знати, що таке значення при оцінці його в x = c.

За алгоритмом поділу ми маємо можливість записати поліном P (x) наступним чином:

У цьому виразі q (x) і r (x) є частковими та рештами відповідно. Тепер, якщо d (x) = x- c, то при оцінці в c у поліномі знаходимо наступне:

Для цього потрібно лише знайти r (x), і це можна зробити завдяки синтетичному поділу.

Наприклад, ми маємо многочлен P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37, і ми хочемо знати, яке його значення при оцінці його в x = 5. Для цього виконуємо поділ між P (x) і d (x) = x -5 методом синтетичного поділу:

Як тільки операції виконані, ми знаємо, що P (x) можна записати таким чином:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (х-5) + 4253

Тому при оцінюванні ми повинні:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Як бачимо, можна використовувати синтетичне поділ, щоб знайти значення полінома при оцінці його в c замість простої заміни c з x \ t. 

Якщо ми спробували оцінити P (5) традиційним способом, нам потрібно було б виконати деякі розрахунки, які, як правило, стають нудними.

Приклад 4

Алгоритм поділу для поліномів також виконується для многочленів з комплексними коефіцієнтами, і, як наслідок, для цих поліномів працює метод синтетичного поділу. Далі ми побачимо приклад.

Використовуємо метод синтетичного поділу, щоб показати, що z = 1+ 2i - нуль многочлена P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); тобто залишок поділу P (x) між d (x) = x - z дорівнює нулю.

Продовжуємо як і раніше: у першому рядку записуємо коефіцієнти P (x), потім у другому пишемо z і малюємо лінії поділу..

Ми зробили поділ, як і раніше; це:

Можна бачити, що залишок дорівнює нулю; тому ми робимо висновок, що z = 1+ 2i - нуль P (x).

Список літератури

1. Бальдор Ауреліо. Алгебра. Редакційна група Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Перерахунок: Граф, числовий, алгебраїчний 7-е ред.
3. Флемінг В. і Варзерг Д. Алгебра і тригонометрія з аналітичною геометрією. Prentice Hall
4. Майкл Салліван. Precalculus 4-е вид. Освіта Пірсона.
5. Червоний Армандо О. Алгебра 1 6-е изд. Атенеум.