Історія евклідової геометрії, основні поняття та приклади

The Евклідова геометрія відповідає вивченню властивостей геометричних просторів, де задовольняються аксіоми Евкліда. Хоча цей термін іноді використовується для охоплення геометрій, які мають вищі розміри з подібними властивостями, зазвичай це синонім класичної геометрії або плоскої геометрії..

У III ст. С. Евклід і його учні написали Елементи, твір, що охоплював математичні знання часу, наділені логіко-дедуктивною структурою. З тих пір геометрія стала наукою, спочатку вирішувати класичні проблеми і перетворилася на формувальну науку, що допомагає розуму.

Індекс

• 1 Історія
• 2 Основні поняття
  • 2.1 Загальні поняття
  • 2.2 Постулати або аксіоми
• 3 Приклади
  • 3.1 Перший приклад
  • 3.2 Другий приклад
  • 3.3 Третій приклад
• 4 Посилання

Історія

Щоб говорити про історію евклідової геометрії, дуже важливо почати з Евкліда Олександрійського Елементи.

Коли Єгипет був у руках Птолемея I, після смерті Олександра Великого, він почав свій проект в школі в Олександрії.

Серед мудреців, які навчалися в школі, був Евклід. Припускають, що його народження датується приблизно від 325 років. C. і його смерть 265 а. C. Ми можемо з упевненістю знати, що він поїхав до школи Платона.

Протягом більше тридцяти років Евклід викладав в Олександрії, будуючи свої знамениті елементи: він почав писати вичерпний опис математики свого часу. Вчення Евкліда створило чудові учні, такі як Архімед і Аполлоній з Перги.

Евклід відповідав за структурування розрізнених відкриттів класичних греків у Росії Елементи, але на відміну від своїх попередників вона не обмежується твердженням, що теорема є істинною; Евкліди пропонує демонстрацію.

The Елементи Вони є збірником тринадцяти книг. Після Біблії вона є найбільш опублікованою книгою, яка містить більше тисячі видань.

The Елементи є шедевром Евкліда в області геометрії, і пропонує остаточне трактування геометрії двох вимірів (площини) і трьох вимірів (простору), що є походженням того, що ми тепер знаємо як евклідову геометрію.

Основні поняття

Елементи складаються з визначень, загальних понять і постулатів (або аксіом), за якими слідують теореми, конструкції та демонстрації.

- Справа в тому, що не має частин.

- Лінія - це довжина, яка не має ширини.

- Пряма лінія є такою, яка лежить однаково по відношенню до точок, які є в цьому.

- Якщо дві лінії розрізані так, що сусідні кути рівні, кути називаються прямими, а лінії називаються перпендикулярами..

- Паралельними лініями є ті, які, перебуваючи в одній площині, ніколи не розрізаються.

Після цих та інших визначень Евклід представляє список з п'яти постулатів і п'яти понять.

Загальні поняття

- Дві речі, які дорівнюють третій, дорівнюють один одному.

- Якщо до одних і тих самих речей додаються однакові речі, то результати однакові.

- Якщо з тих самих речей віднімаються однакові речі, то результати однакові.

- Речі, які збігаються один з одним, однакові.

- Загальна кількість більше, ніж частина.

Постулати або аксіоми

- Для двох різних точок проходить один і тільки один рядок.

- Прямі лінії можуть розширюватися нескінченно.

- Можна намалювати коло з будь-яким центром і будь-яким радіусом.

- Всі прямі кути однакові.

- Якщо пряма лінія перетинає дві прямі лінії так, що внутрішні кути однієї сторони складають менше двох прямих кутів, то дві лінії перетинатимуться на цій стороні.

Цей останній постулат відомий як постулат паралелей і був переформульований наступним чином: "Для точки поза рядка можна намалювати одну паралель даної лінії".

Приклади

Далі деякі теореми Елементи вони будуть служити, щоб показати властивості геометричних просторів, де виконуються п'ять постулатів Евкліда; Крім того, вони ілюструють логіко-дедуктивні міркування, які використовує цей математик.

Перший приклад

Твердження 1.4. (LAL)

Якщо два трикутники мають дві сторони, а кут між ними рівний, то інші сторони та інші кути рівні.

Демонстрація

Нехай ABC і A'B'C '- два трикутники з AB = A'B', AC = A'C ', а кути BAC і B'A'C' рівні. Перемістіться до трикутника A'B'C 'так, щоб A'B' збігався з AB і що кут B'A'C 'збігався з кутом BAC.

Тоді лінія A'C 'збігається з лінією AC, так що C' збігається з C. Тоді, постулат 1, лінія BC повинна збігатися з лінією B'C '. Тому два трикутники збігаються і, отже, їх кути і сторони рівні.

Другий приклад

Пропозиція 1.5. (Понс Асінорум)

Якщо трикутник має дві рівні сторони, то кути, протилежні цим сторонам, рівні.

Демонстрація

Припустимо, що трикутник ABC має рівні сторони AB і AC.

Тоді трикутники ABD і ACD мають дві однакові сторони і кути між ними рівні. Таким чином, за твердженням 1.4, кути ABD і ACD рівні.

Третій приклад

Пропозиція 1.31

Можна побудувати лінію, паралельну лінії, заданої заданою точкою.

БУДІВНИЦТВО

З огляду на лінію L і точку P, пряму лінію M малюють, яка проходить через P і розрізається на L. Тоді пряму лінію N тягне P, яка скорочується до L. Тепер ми відстежуємо P a прямий N, який розрізається на M, утворюючи кут, рівний тому, який L утворює з М.

Афірмація

N паралельно L.

Демонстрація

Припустимо, що L і N не паралельні і перетинаються в точці А. Нехай B - точка в L за А. Розглянемо пряму O, що проходить через B і P. Тоді O розрізаємо до M, формуючи кути, які додають менше два прямо.

Тоді, через 1,5, лінія O повинна зрізатися до лінії L на іншій стороні M, тому L і O перетинаються в двох точках, що суперечить постулату 1. Отже, L і N повинні бути паралельними..

Список літератури

1. Евклід. Елементи геометрії. Національний автономний університет Мексики
2. Евклід Перші шість книг і одинадцятий і дванадцятий елементи Евкліда
3. Євгеніо Філлой Ягу. Дидактика та історія евклідової геометрії
4. К.Рібніков. Історія математики Мір
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Венесуельський C.A..