Теорема Чебишова про те, з чого вона складається, програми та приклади



The Теорема Чебишова (або нерівність Чебишова) є одним з найважливіших класичних результатів теорії ймовірності. Це дозволяє оцінити ймовірність події, описаної в термінах випадкової величини X, надаючи нам розмірність, яка не залежить від розподілу випадкової величини, але від дисперсії X.

Теорема названа на честь російського математика Пафнуті Чебишова (також написаного як Чебичев або Чебичефф), який, незважаючи на те, що він не перший висловив цю теорему, першим дав демонстрацію в 1867 році..

Ця нерівність, або ті, що за своїми характеристиками називаються нерівністю Чебишова, використовується в основному для наближення ймовірностей за допомогою розрахунку розмірів.

Індекс

  • 1 З чого він складається??
  • 2 Програми та приклади
    • 2.1. Вірогідність обмеження
    • 2.2 Демонстрація граничних теорем
    • 2.3 Розмір вибірки
  • 3 Нерівності типу Чебишов
  • 4 Посилання

З чого вона складається??

При дослідженні теорії ймовірностей буває так, що якщо ми знаємо функцію розподілу випадкової величини X, то можна розрахувати її очікуване значення - або математичне очікування E (X) - і його дисперсію Var (X), доки зазначені суми існують. Проте взаємність не обов'язково є істинною.

Тобто, знаючи E (X) і Var (X), не завжди можливо отримати функцію розподілу X, тому величини, такі як P (| X |> k) для деяких k> 0, дуже важко отримати. Але завдяки нерівності Чебишова можна оцінити ймовірність випадкової величини.

Теорема Чебишова говорить нам, що якщо ми маємо випадкову величину X над вибірковим простором S з функцією ймовірності p, а якщо k> 0, то:

Додатки та приклади

Серед багатьох додатків, якими володіє теорема Чебишова, можна назвати наступне:

Обмеження ймовірностей

Це найбільш поширене застосування і використовується для задання верхньої межі для P (| X-E (X) | ≥k) де k> 0, тільки з дисперсією та очікуванням випадкової величини X, не знаючи функції ймовірності.

Приклад 1

Припустимо, що кількість продукції, виробленої на підприємстві протягом тижня, є випадковою змінною в середньому 50.

Якщо ми знаємо, що дисперсія тижня виробництва дорівнює 25, то що можна сказати про ймовірність того, що виробництво на цьому тижні буде відрізнятися більш ніж на 10 від середнього.?

Рішення

Застосовуючи нерівність Чебишова, ми повинні:

З цього можна отримати, що ймовірність того, що за тиждень виробництва кількість статей перевищує більше 10 до середнього, не більше 1/4.

Демонстрація граничних теорем

Важливу роль у демонстрації найважливіших граничних теорем відіграє нерівність Чебишова. Як приклад ми маємо наступне:

Слабкий закон великих чисел

Цей закон встановлює, що задані послідовності X1, X2, ..., Xn, ... незалежних випадкових величин з однаковим середнім розподілом E (Xi) = μ і дисперсією Var (X) = σ2, і відома середня вибірка:

Тоді для k> 0 потрібно:

Або, еквівалентно:

Демонстрація

Спочатку зауважимо наступне:

Оскільки X1, X2, ..., Xn незалежні, випливає, що:

Тому можна стверджувати наступне:

Тоді, використовуючи теорему Чебишова, треба:

Нарешті, теорема випливає з того, що межа правого поля дорівнює нулю, коли n прагне до нескінченності.

Слід зазначити, що цей тест проводився тільки для випадку, коли існує дисперсія Xi; тобто не розходиться. Таким чином, ми бачимо, що теорема завжди справедлива, якщо E (Xi) існує.

Гранична теорема Чебишова

Якщо X1, X2, ..., Xn, ... - послідовність незалежних випадкових величин, таких, що існує деяка С< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

Демонстрація

Оскільки послідовність дисперсій рівномірно обмежена, ми маємо Var (Sn) ≤ C / n для всіх натуральних n. Але ми знаємо, що:

Здійснюючи тенденцію n до нескінченності, можна отримати наступні результати:

Оскільки ймовірність не може перевищувати значення 1, виходить бажаний результат. Як наслідок цієї теореми можна згадати окремий випадок Бернуллі.

Якщо експеримент повторюється n разів незалежно з двома можливими результатами (невдача і успіх), де p - ймовірність успіху в кожному експерименті, а X - випадкова величина, що представляє число отриманих успіхів, то для кожного k> 0 Ви повинні:

Розмір зразка

В умовах дисперсії нерівність Чебишова дозволяє знайти розмір вибірки n, достатній для гарантії того, що ймовірність виникнення | Sn-μ | до середнього.

Точно, нехай X1, X2, ... Xn є зразком незалежних випадкових величин розміру n і припустимо, що E (Xi) = μ і його дисперсія σ2. Тоді, через нерівність Чебишова, ми повинні:

Приклад

Припустимо, що X1, X2, ... Xn є зразком незалежних випадкових величин з розподілом Бернуллі, так що вони приймають значення 1 з ймовірністю p = 0.5.

Яким має бути розмір зразка, щоб бути в змозі гарантувати, що ймовірність того, що різниця між середнім арифметичним Sn і його очікуваним значенням (що перевищує більше 0,1), менше або дорівнює 0,01?

Рішення

Маємо, що E (X) = μ = p = 0,5, а Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Для нерівності Чебишова для будь-якого k> 0 необхідно:

Тепер, приймаючи k = 0.1 і δ = 0.01, ми повинні:

Таким чином, зроблено висновок, що розмір вибірки не менше 2500 є необхідним для забезпечення того, що ймовірність події | Sn - 0.5 |> = 0.1 менше 0.01.

Нерівності типу Чебишов

Існують різні нерівності, пов'язані з нерівністю Чебишова. Одним з найбільш відомих є марковське нерівність:

У цьому виразі X є неотрицательной випадковою змінною з k, r> 0.

Марківська нерівність може приймати різні форми. Наприклад, Y - невід'ємна випадкова величина (тому P (Y> = 0) = 1) і припустимо, що E (Y) = μ існує. Припустимо також, що (E (Y))r= μr існує для деякого цілого числа r> 1. Тоді:

Інша нерівність полягає в тому, що Гауса, що говорить нам, що дана унімодальна випадкова величина X з режимом у нулі, то для k> 0,

Список літератури

  1. Кай Лай Чун Елементарна теорія доступності з стохастичними процесами. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Дискретна математика та її застосування. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Пол Л. Мейер. Вірогідність і статистичні застосування. S.A. МЕКСИКАНСЬКИЙ АЛЬАМБРА.
  4. Сеймур Ліпшуц 2000 Вирішені проблеми дискретного математики. McGRAW-HILL.
  5. Сеймур Ліпшуц Теорія і проблеми ймовірності. McGRAW-HILL.