Формули теореми Евкліда, демонстрація, застосування та вправи

The Теорема Евкліда демонструє властивості прямокутного трикутника, малюючи лінію, яка розділяє її на два нових правильних трикутника, які подібні один одному і, у свою чергу, подібні до вихідного трикутника; тоді існує співвідношення пропорційності.

Евклід був одним з найбільших математиків і геометрів давньої епохи, який зробив кілька демонстрацій важливих теорем. Одним з головних є той, який носить його ім'я, який мав широке застосування.

Це було так тому, що, через цю теорему, вона пояснює простим чином геометричні відносини, що існують у правому трикутнику, де ноги цього пов'язані з їх проекціями в гіпотенузі.

Індекс

• 1 Формули та демонстрація
  • 1.1 Теорема про висоту
  • 1.2 Теорема ніг
• 2 Зв'язок між теоремами Евкліда
• 3 Вправи вирішені
  • 3.1 Приклад 1
  • 3.2 Приклад 2
• 4 Посилання

Формули і демонстрація

Теорема Евкліда пропонує, що в кожному прямокутному трикутнику, коли лінія намальована, яка представляє висоту, що відповідає вершині прямого кута по відношенню до гіпотенузи, два правильних трикутника формуються з оригіналу..

Ці трикутники будуть схожими один на одного і будуть також схожі на початковий трикутник, що означає, що їх подібні сторони пропорційні один одному:

Кути трьох трикутників конгруентні; тобто, повертаючись на 180 градусів на вершині, кут збігається з іншого. Це означає, що всі будуть рівними.

Таким чином можна також перевірити подібність, що існує між трьома трикутниками, за рівність їх кутів. З подібності трикутників Евклід встановлює пропорції цих двох теорем:

- Теорема про висоту.

- Теорема ніг.

Ця теорема має широке застосування. В античності він використовувався для розрахунку висот або відстаней, що представляє великий прогрес для тригонометрії.

В даний час він застосовується в кількох областях, які базуються на математиці, такі як інженерія, фізика, хімія та астрономія, серед багатьох інших областей.

Теорема про висоту

Ця теорема стверджує, що у будь-якому прямокутному трикутнику висота, піднята від прямого кута по відношенню до гіпотенузи, є геометричним пропорційним середнім (квадратом висоти) між виступами ніг, що визначає гіпотенузу.

Тобто квадрат висоти буде дорівнювати множенню проектованих ніжок, які утворюють гіпотенузу:

h_c² = m _* n

Демонстрація

З урахуванням трикутника ABC, який є прямокутником на вершині C, при побудові висоти генеруються два аналогічних правильних трикутника, ADC і BCD; тому відповідні сторони пропорційні:

Таким чином, висота h_c що відповідає відрізку CD, відповідає гіпотенузі AB = c, тому доводиться:

У свою чергу, це відповідає:

Очищення гіпотенузи (ч_c), щоб помножити двох членів рівності, ви повинні:

h_{c *} h_{c =} m _* n

h_c² = m _* n

Таким чином, значення гіпотенузи дається шляхом:

Теорема ніг

Ця теорема стверджує, що в будь-якому прямокутному трикутнику мірою кожної ноги буде геометричне пропорційне середнє значення (квадрат кожної ноги) між вимірюванням гіпотенузи (повного) і проекцією кожного на неї:

b² = c _* m

a² = c_* n

Демонстрація

З огляду на трикутник ABC, який є прямокутником на вершині C, такий, що його гіпотенуза є c, при побудові висоти (h) визначаються проекції ніжок a і b, які є сегментами m і n відповідно. гіпотенузи.

Таким чином, ми маємо, що висота, намальована на правому трикутнику ABC, генерує два аналогічних правильних трикутника, ADC і BCD, так що відповідні сторони пропорційні, наприклад:

DB = n, що є проекцією ноги КБ на гіпотенузу.

AD = m, що є проекцією катету АС на гіпотенузу.

Тоді гіпотенуза c визначається сумою ніжок її проекцій:

c = m + n

Завдяки подібності трикутників ADC і BCD, ми повинні:

Вище наведене нижче:

Очищаючи ногу "а", щоб помножити двох членів рівності, треба:

a _* a = c _* n

a² = c _* n

Таким чином, значення ноги "а" задається:

Аналогічно, за подібністю трикутників ACB і ADC, ми повинні:

Вище наведено:

Очищаючи ногу "б", щоб помножити двох членів рівності, треба:

b _* b = c _* m

b² = c _* m

Таким чином, значення ноги "b" задається:

Зв'язок між теоремами Евкліда

Теореми, що стосуються висоти і ніг, пов'язані один з одним, оскільки міра обох зроблена по відношенню до гіпотенузи правого трикутника..

Через співвідношення теорем Евкліда можна також знайти значення висоти; це можливо, очистивши значення m і n від теореми ноги, і вони замінюються в теоремі висоти. Таким чином, висота дорівнює розмноженню ніг, розділених гіпотенузою:

b² = c _* m

m = b² C

a² = c _* n

n = a² C

У теоремі висоти m і n замінюються:

h_c² = m _* n

h_c² = (b² C) _* (a² C)

h_c = (b²_* a²) ÷ c

Вирішені вправи

Приклад 1

З урахуванням трикутника ABC, прямокутника в A, визначають міру змінного струму і AD, якщо AB = 30 см і BD = 18 см

Рішення

У цьому випадку ми маємо вимірювання однієї з проектованих ніжок (BD) і однієї з ніжок вихідного трикутника (AB). Таким чином, ви можете застосувати теорему ноги, щоб знайти значення ноги БК.

AB² = BD _* До н.е.

(30)² = 18 _* До н.е.

900 = 18 _* До н.е.

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 см

Значення катету CD можна знайти, знаючи, що BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 см

Тепер можна визначити значення катету АС, застосовуючи знову теорему ноги:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² = 160

AC = 001600 = 40 см

Для визначення величини висоти (AD) застосовується теорема про висоту, оскільки відомі значення проектованих ніжок CD і BD:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = 76576

AD = 24 см

Приклад 2

Визначаємо значення висоти (h) трикутника MNL, прямокутника в N, знаючи вимірювання сегментів:

NL = 10 см

MN = 5 см

ПМ = 2 см

Рішення

Ви маєте вимірювання однієї з ніжок, що проектуються на гіпотенузу (PM), а також вимірювання ніг вихідного трикутника. Таким чином, теорема про ногу може бути застосована для знаходження значення іншої проектованої ноги (LN):

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Оскільки ми вже знаємо значення ніг і гіпотенузи, через співвідношення теорем висоти і ніг, можна визначити значення висоти:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* a²) ÷ c.

h = (10²_* 5²)  ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 см.

Список літератури

1. Braun, E. (2011). Хаос, фрактали і дивні речі. Фонд економічної культури.
2. Кабрера, В. М. (1974). Сучасна математика, том 3.
3. Даніель Ернандес, Д. П. (2014). Математика 3-го року Каракас: Сантільяна.
4. Енциклопедія Britannica, i. (1995). Латиноамериканська енциклопедія: Макропедія. Видавництво "Енциклопедія Британіка".
5. Евклід Р. П. (1886). Елементи геометрії Евкліда.
6. Guardeño, A.J. (2000). Спадщина математики: від Евкліда до Ньютона, геніїв через його книги. Університет Севільї.