Теорема Мойра про те, що складається, демонструє та вирішує вправи

The Теорема Мойвера застосовуються фундаментальні процеси алгебри, такі як потужності і вилучення коренів в комплексних числах. Теорему виголосили відомий французький математик Авраам де Мойвр (1730), який пов'язував комплексні числа з тригонометрією..

Авраам Муйвр зробив це об'єднання через вираження грудей і косинуса. Цей математик створив своєрідну формулу, за допомогою якої можна підняти комплексне число z до потужності n, яке є додатним цілим числом, більшим або рівним 1.

Індекс

• 1 Що таке теорема Муйвера??
• 2 Демонстрація
  • 2.1 Індуктивна база
  • 2.2 Індуктивна гіпотеза
  • 2.3 Перевірка
  • 2.4 Негативне ціле число
• 3 Вправи вирішені
  • 3.1 Розрахунок позитивних повноважень
  • 3.2 Розрахунок негативних потужностей
• 4 Посилання

Що таке теорема Муйвера??

Теорема Мойвера говорить:

Якщо у вас комплексне число в полярній формі z = r_ɵ, де r - модуль комплексного числа z, а кут Ɵ називається амплітудою або аргументом будь-якого комплексного числа з 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, для обчислення його n-ї потужності не потрібно буде помножити її на n-раз; тобто, не потрібно робити наступний продукт:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_* r_* r_{... * ... *} r_ɵ   n-разів.

Навпаки, теорема говорить, що при написанні z в його тригонометричній формі, для обчислення n-ї потужності, ми продовжуємо:

Якщо z = r (cos i + i _* sin Ɵ), потім zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Наприклад, якщо n = 2, то z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Якщо ви маєте, що n = 3, то z³ = z² _* z. Крім того:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (+) + i sin 2 (])] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Таким чином, тригонометричні співвідношення синуса і косинуса можуть бути отримані для кратних кутів, доки відомі тригонометричні співвідношення кута..

Так само можна використовувати для пошуку більш точних і менш заплутаних виразів для n-го кореня комплексного числа z, так що z \ tⁿ = 1.

Для того, щоб продемонструвати теорему Мойвера, використовується принцип математичної індукції: якщо ціле число "a" має властивість "P", і якщо для будь-якого цілого числа "n" більше, ніж "a", що має властивість "P", це задовольняє, що n + 1 також має властивість "P", тоді всі цілі числа, більші або рівні "a", мають властивість "P".

Демонстрація

Таким чином, доказ теореми виконується наступними кроками:

Індуктивна база

Перша перевірка на n = 1.

Як і z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos i + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* +) + I _* sen (1_* Ɵ)], маємо, що для n = 1 виконується теорема.

Індуктивна гіпотеза

Передбачається, що формула є істинною для деякого натурального числа, тобто n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (cos k i + i _* sen k Ɵ).

Перевірка

Доведено, що воно є істинним для n = k + 1.

Як і z^{k + 1}= z^k _* z, потім z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos i + i_* senƟ).

Потім вирази множать:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

На мить r-фактор ігнорується^{k + 1},  і загальний фактор i видаляється:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Як i² = -1, підставляємо його у вираз і отримуємо:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

Тепер реальна і уявна частина впорядковані:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Для спрощення виразу застосовуються тригонометричні тотожності суми кутів косинуса і синуса, які є:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

У цьому випадку змінними є кути Ɵ і kƟ. Застосовуючи тригонометричні ідентичності, ми маємо:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Таким чином, вираз залишається:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) +] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Таким чином, можна було б показати, що результат справедливий для n = k + 1. За принципом математичної індукції, робиться висновок, що результат справедливий для всіх натуральних чисел; тобто n ≥ 1.

Ціле число від'ємне

Теорема Мойвера також застосовується, коли n ≤ 0. Розглянемо від'ємне ціле число "n"; тоді "n" може бути записано як "-m", тобто n = -m, де "m" є додатним цілим числом. Тому:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos i + i _* sen Ɵ) ^-m

Щоб отримати показник "m" в позитивному ключі, вираз записується назад:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos i + i _* sen Ɵ) ^m

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Тепер використовується, якщо z = a + b * i - комплексне число, то 1 = z = a-b * i. Тому:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Використовуючи cos (x) = cos (-x) і що -sen (x) = sin (-x), ми повинні:

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos i + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Таким чином, можна сказати, що теорема поширюється на всі цілі значення "n".

Вирішені вправи

Розрахунок позитивних повноважень

Однією з операцій з комплексними числами в полярній формі є множення між двома з них; у цьому випадку модулі множаться і додаються аргументи.

Якщо у вас є два комплексних числа z₁ і z₂ і потрібно обчислити (z₁* z₂)², Далі ми виконуємо наступне:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + i _* sen₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + i _* sen₂)]

Властивість розподілу застосовується:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_{1 *} i _* sen₂ + i _* sen_{1 *} cos Ɵ₂ + i²_* sen_{1 *} sen₂).

Вони згруповані, беручи термін "i" як загальний фактор виразів:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen₂ + sen_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen_{1 *} sen₂]

Як i² = -1, замінюється у виразі:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen₂ + sen_{1 *} cos Ɵ₂) - сен_{1 *} sen₂]

Реальні терміни перегрупуються з реальними, а уявні з уявними:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen_{1 *} sen₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen₂ + sen_{1 *} cos Ɵ₂)]

Нарешті, застосовуються тригонометричні властивості:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (₁ + ɵ₂) + i sen (₁ + ɵ₂)].

На закінчення:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (₁ + ɵ₂) + i sen (₁ + ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (₁ + ɵ₂)].

Вправа 1

Запишемо комплексне число в полярній формі, якщо z = - 2 -2i. Потім, використовуючи теорему Мойвера, обчислимо z⁴.

Рішення

Комплексне число z = -2 -2i виражається у прямокутній формі z = a + bi, де:

a = -2.

b = -2.

Знаючи, що полярна форма є z = r (cos i + i _* sin Ɵ), необхідно визначити значення модуля "r" і значення аргументу "Ɵ". При r = √ (a² + b²) задані значення замінюються:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Потім, щоб визначити значення ",", застосовується прямокутна форма цього, яка задається формулою:

tan Ɵ = b. a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Як tan (=) = 1 і ви повинні<0, entonces se tiene que:

Ar = arctan (1) + Π.

= 4/4 + Π

= 5Π / 4.

Оскільки значення "r" і "Ɵ" вже було отримано, комплексне число z = -2 -2i може бути виражено в полярній формі шляхом підстановки значень:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Тепер теорема Мойвера використовується для обчислення z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Вправа 2

Знайти твір складних чисел, висловивши його в полярній формі:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o).

Потім обчислимо (z1 * z2) ².

Рішення

Спочатку формується твір даних чисел:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100^o + i_* 100 sen^o)]

Потім помножте модулі разом і додайте аргументи:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^o + 100^o) + i_* sen (50^o + 100^o)]

Вираз спрощено:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 сен^o).

Нарешті, застосовується теорема Муйвера:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^o + (i_* 150 сен^o)) ² = 784 (cos 300)^o + (i_* 300 sen^o))).

Розрахунок негативних потужностей

Для поділу двох комплексних чисел z₁ і z₂ у своїй полярній формі модуль ділиться і аргументи віднімаються. Таким чином, часткою є z₁ . Z₂ і виражається таким чином:

z₁ . Z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + i sen (₁ - ɵ₂)]).

Як і в попередньому випадку, якщо ви хочете розрахувати (z1) z2) ³, спочатку робиться поділ, а потім використовуйте теорему Мойвера..

Вправа 3

Дано:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

обчислити (z1 ÷ z2) ³.

Рішення

Виходячи з описаних вище кроків, можна зробити висновок, що:

(z1 2 z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)))

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Список літератури

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра і тригонометрія з аналітичною геометрією. Освіта Пірсона.
2. Croucher, M. (s.f.). З теореми Муйвера для провідних ідентичностей. Проект демонстрацій Вольфрама.
3. Hazewinkel, M. (2001). Енциклопедія математики.
4. Макс Петерс, Л. Л. (1972). Алгебра і тригонометрія.
5. Pérez, C. D. (2010). Освіта Пірсона.
6. Stanley, G. (s.f.). Лінійна алгебра Graw-Hill.
7. , М. (1997). Precalculus Освіта Пірсона.