Поділитися:
Теорема Фалеса Мілета Перша, друга і приклади
Перший і другий Теорема Фалеса Мілета вони засновані на визначенні трикутників з інших подібних (перша теорема) або окружності (друга теорема). Вони були дуже корисними в різних областях. Наприклад, перша теорема виявилася дуже корисною для вимірювання великих структур, коли не було складних вимірювальних приладів.
Фалес з Мілета був грецьким математиком, який надав величезний внесок у геометрію, з яких виділяються ці дві теореми (в деяких текстах вони також пишуть її як Фалес) і їх корисні застосування. Ці результати використовуються протягом всієї історії і дозволяють вирішувати широкий спектр геометричних проблем.
Індекс
- 1 Перша теорема казок
- 1.1 Застосування
- 1.2 Приклади
- 2 Друга теорема Казок
- 2.1 Застосування
- 2.2 Приклад
- 3 Посилання
Перша теорема Казок
Перша теорема Tales є дуже корисним інструментом, який, серед іншого, дозволяє побудувати трикутник, подібний до іншого, раніше відомого. Звідси випливають різні версії теореми, які можна застосувати в різних контекстах.
Перш ніж давати свою заяву, запам'ятайте деякі уявлення про подібність трикутників. По суті, два трикутники подібні, якщо їхні кути конгруентні (вони мають однакову міру). Це призводить до того, що, якщо два трикутники подібні, їх відповідні сторони (або гомологи) пропорційні.
Перша теорема Фалеса стверджує, що якщо в даному трикутнику пряма лінія проходить паралельно будь-якій з її сторін, отриманий новий трикутник буде схожий на початковий трикутник..
Ви також отримуєте зв'язок між кутами, які формуються, як показано на наступному малюнку.
Застосування
Серед його численних застосувань виділяється один з особливих інтересів і пов'язаний з одним із способів, за якими проводилися вимірювання великих структур в давнину, час, в якому Фалес жив і в якому сучасні вимірювальні прилади не були доступні. вони існують зараз.
Кажуть, що саме так Фалесу вдалося виміряти найвищу піраміду в Єгипті, Хеопс. Для цього Фалес припустив, що відображення сонячних променів торкнулися землі, утворюючи паралельні лінії. При такому припущенні він засунув стрижень або тростину вертикально в землю.
Потім він використовував подібність двох результуючих трикутників, один утворений довжиною тіні піраміди (яку можна легко розрахувати) і висотою піраміди (невідома), а інша сформованою довжиною тіні. і висоту стрижня (який також можна легко розрахувати).
Використовуючи пропорційність між цими довжинами, можна очистити і дізнатися висоту піраміди.
Хоча цей метод вимірювання може давати значну похибку апроксимації по відношенню до точності висоти і залежить від паралельності сонячних променів (що в свою чергу залежить від точного часу), ми повинні визнати, що це дуже геніальна ідея. і що забезпечило хорошу альтернативу вимірювання часу.
Приклади
Знайти значення x у кожному випадку:
Рішення
Тут ми маємо дві лінії, вирізані двома паралельними лініями. За першою теоремою Фалеса випливає, що відповідні сторони пропорційні. Зокрема:
Рішення
Тут ми маємо два трикутники, один з яких утворений відрізком, паралельним одній із сторін іншої (саме сторона довжини x). За першою теоремою Tales ви повинні:
Друга теорема казок
Друга теорема Фалеса визначає правий трикутник, вписаний по колу в кожній точці одного і того ж.
Трикутник, вписаний до окружності, є трикутником, вершини якого знаходяться на колі, що таким чином міститься в цьому.
Зокрема, у другій теоремі Фалеса зазначається наступне: з урахуванням кола центру O і діаметра AC кожна точка B окружності (крім A і C) визначає правий трикутник ABC, з прямим кутом Для обґрунтування зауважте, що як OA, так і OB і OC відповідають радіусу окружності; тому їх вимірювання однакові. Звідти виходить, що трикутники OAB і OCB є рівнобедреними, де Відомо, що сума кутів трикутника дорівнює 180º. Використовуючи це з трикутником ABC, ви повинні: 2b + 2a = 180º. Еквівалентно, маємо, що b + a = 90º та b + a = Зауважимо, що правий трикутник, представлений другою теоремою Фалеса, саме те, чия гіпотенуза дорівнює діаметру окружності. Тому вона повністю визначається півколом, що містить точки трикутника; в цьому випадку верхній півколо. Зазначимо також, що в прямокутному трикутнику, отриманому за допомогою другої теореми Фалеса, гіпотенуза ділиться на дві рівні частини OA і OC (радіус). У свою чергу, цей показник дорівнює відрізку OB (також радіусу), що відповідає медіані трикутника ABC за допомогою B. Іншими словами, довжина медіани правого трикутника ABC, що відповідає вершині B, повністю визначається половиною гіпотенузи. Нагадаємо, що медіана трикутника є відрізком від однієї з вершин до середини протилежної сторони; у цьому випадку сегмент BO. Інший спосіб побачити другу теорему Фалеса - це коло, описаний у прямокутному трикутнику. Взагалі, коло, прив'язане до багатокутника, складається з окружності, що проходить через кожну з її вершин, коли це можливо. Використовуючи другу теорему Фалеса, з урахуванням прямокутного трикутника, ми завжди можемо побудувати описану для цього окружність, причому радіус дорівнює половині гіпотенузи і окружності (центр окружності), що дорівнює середині точки гіпотенузи. Дуже важливим є застосування другої теореми Tales, і, можливо, найбільш часто використовуваної, є пошук дотичних ліній до заданої окружності за допомогою точки P, зовнішньої до цієї (відомої).. Зауважимо, що з урахуванням окружності (намальованої блакитним кольором на малюнку нижче) і зовнішньої точки P існують дві лінії, дотичні до окружності, що проходять через P. Нехай T і T '- точки дотику, r радіус окружності і Або центр. Відомо, що сегмент, що йде від центру кола до точки його дотику, перпендикулярний цій дотичній. Далі, кут OTP прямий. З того, що ми бачили раніше в першій теоремі Фалеса і його різних версіях, ми бачимо, що можна вписати трикутник OTP в іншу окружність (червоним). Аналогічно виходить, що трикутник OT'P може бути вписаний в межах однієї попередньої окружності. За другою теоремою Фалеса ми також отримуємо, що діаметр цієї нової окружності - це саме гіпотенуза трикутника OTP (що дорівнює гіпотенузі трикутника OT'P), а центр - серединою цієї гіпотенузи. Щоб обчислити центр нової окружності, достатньо обчислити середню точку між центром - скажімо М - початкової окружності (яку ми вже знаємо) і точкою Р (яку ми також знаємо). Тоді радіус буде відстанню між цією точкою М і Р. З радіусом і центром червоного кола ми можемо знайти своє декартове рівняння, яке ми пам'ятаємо, задане (x-h)2 + (y-k)2 = c2, де c - радіус, а точка (h, k) - центр кола. Знаючи тепер рівняння обох окружностей, ми можемо їх перетинати, вирішивши систему рівнянь, сформованих цими, і таким чином отримавши точки дотику T і T '. Нарешті, щоб знати потрібні дотичні лінії, досить знайти рівняння прямих, що проходять через T і P, а T 'і P. Розглянемо окружність діаметра AC, центр O і радіус 1 см. Нехай B - точка на окружності така, що AB = AC. Скільки вимірює АБ? За другою теоремою Фалеса ми маємо, що трикутник ABC є прямокутником, а гіпотенуза відповідає діаметру, який в даному випадку вимірює 2 см (радіус 1 см). Тоді за теоремою Піфагора ми повинні:
Обведена окружність
Застосування
Приклад
Рішення
Список літератури