Приклади теореми Варіньона і розв'язані вправи



The Теорема Варіньона встановлює, що якщо в будь-якому чотирикутнику будь-які точки постійно приєднуються до боків, генерується паралелограм. Ця теорема була сформульована П'єром Варіньоном і опублікована в книзі 1731 року Елементи математики".

Видання книги відбулося років після його смерті. Оскільки Варіньйон представляв цю теорему, паралелограма називається його ім'ям. Теорема базується на евклідовій геометрії і представляє геометричні співвідношення чотирикутників.

Індекс

  • 1 Що таке теорема Варіньона??
  • 2 Приклади
    • 2.1 Перший приклад
    • 2.2 Другий приклад
  • 3 Вправи вирішені
    • 3.1 Вправа 1
    • 3.2 Вправа 2
    • 3.3 Вправа 3
  • 4 Посилання

Що таке теорема Варіньона??

Varignon стверджував, що цифра, яка визначається серединами чотирикутника, завжди призведе до паралелограму, і область цього завжди буде половиною площі чотирикутника, якщо вона плоска і опукла. Наприклад:

На малюнку ми бачимо чотирикутник з площею X, де середні точки сторін представлені E, F, G і H і, коли вони з'єднані, утворюють паралелограм. Площа чотирикутника буде сумою ділянок утворених трикутників, причому половина з них відповідає площі паралелограма.

Оскільки площа паралелограма становить половину площі чотирикутника, то периметр цього паралелограма може бути визначений.

Таким чином, периметр дорівнює сумі довжин діагоналей чотирикутника; це пояснюється тим, що медіаною чотирикутника будуть діагоналі паралелограма.

З іншого боку, якщо довжини діагоналей чотирикутника однакові, паралелограм буде алмазом. Наприклад:

З малюнка видно, що, з'єднуючи середини сторін чотирикутника, виходить ромб. З іншого боку, якщо діагоналі чотирикутника перпендикулярні, паралелограм буде прямокутником.

Також паралелограм буде квадрат, коли чотирикутник має діагоналі однакової довжини і також перпендикулярні.

Теорема виконується не тільки в плоских чотирикутниках, а й у просторовій геометрії або у великих розмірах; тобто в тих чотирикутників, які не є опуклими. Прикладом цього може бути октаедр, де середні точки є центроїдами кожного обличчя і утворюють паралелепіпед.

Таким чином, приєднуючи середини різних фігур, можна отримати паралелограми. Простий спосіб перевірити, чи дійсно це правда, полягає в тому, що протилежні сторони повинні бути паралельними, коли вони розширені.

Приклади

Перший приклад

Продовження протилежних сторін, щоб показати, що це паралелограм:

Другий приклад

Приєднуючись до середини алмазу, отримуємо прямокутник:

Теорема використовується в об'єднанні точок, розташованих в середині сторін чотирикутника, а також може використовуватися для інших типів точок, наприклад, у трисекції, пента-перетині або навіть нескінченному числі ділянок ( n), щоб розділити сторони будь-якого чотирикутника на сегменти, які є пропорційними.

Вирішені вправи

Вправа 1

Маємо на малюнку чотирикутник ABCD області Z, де середні сторони цієї сторони є PQSR. Переконайтеся, що утворюється паралелограм варіньона.

Рішення

Можна переконатися, що при приєднанні до PQSR точок утворюється паралелограм Варіньона, саме тому, що в твердженні задані середини чотирикутника.

Щоб продемонструвати це, середні точки PQSR об'єднані, так що видно, що формується інший чотирикутник. Щоб показати, що це паралелограма, потрібно просто намалювати пряму лінію від точки С до точки А, так що ви можете бачити, що CA паралельно PQ і RS.

Аналогічно, шляхом розширення сторін PQRS можна відзначити, що PQ і RS є паралельними, як показано на наступному зображенні:

Вправа 2

Він має такий прямокутник, що довжини всіх його сторін рівні. При приєднанні до середини цих сторін формується ромб ABCD, який ділиться на дві діагоналі AC = 7см і BD = 10см, які збігаються з вимірами сторін прямокутника. Визначте області алмазу і прямокутника.

Рішення

Згадуючи, що площа результуючого паралелограма становить половину чотирикутника, можна визначити область цих знаючи, що міра діагоналей збігається з боками прямокутника. Таким чином, ви повинні:

AB = D

CD = d

Aпрямокутник = (AB * CD) = (10 см) * 7 см) = 70 см2

Aромб = A прямокутник / 2

Aромб = 70 см2 / 2 = 35 см2

Вправа 3

Ми маємо на малюнку чотирикутник, який має об'єднання точок EFGH, задані довжини сегментів. Визначте, чи є об'єднання EFGH паралелограм.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

Рішення

Враховуючи довжини сегментів, можна перевірити, чи є пропорційність між сегментами; тобто, ми можемо знати, якщо вони паралельні, що зв'язують сегменти чотирикутника таким чином:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Потім перевіряється пропорційність, оскільки:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Аналогічно, при побудові лінії від точки B до точки D ми бачимо, що EH паралельна BD, так само, як BD паралельно FG. З іншого боку, EF паралельно GH.

Таким чином можна визначити, що EFGH є паралелограммом, тому що протилежні сторони паралельні.

Список літератури

  1. Андрес, Т. (2010). Математична олімпіада Tresure. Springer. Нью-Йорк.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Плоска евклідова геометрія. SBM. Ріо-де-Жанейро.
  3. Howar, E. (1969). Вивчення геометрії. Мексика: латиноамериканська - американська.
  4. Рамо, Г. П. (1998). Невідомі рішення проблем Ферма-Торрічеллі. ISBN - Незалежна робота.
  5. Vera, F. (1943). Елементи геометрії. Богота.
  6. Villiers, M. (1996). Деякі пригоди в евклідовій геометрії. Південна Африка.