Демонстрація та приклади біноміальної теореми

The біноміальна теорема це рівняння, яке говорить нам, як розробити вираз форми (a + b)ⁿ для деякого натурального числа n. Біном не більше суми двох елементів, як (a + b). Це також дозволяє нам знати термін, заданий a^kb^n-k що таке коефіцієнт.

Ця теорема зазвичай пов'язується з англійським винахідником, фізиком і математиком сером Ісаком Ньютоном; однак, було знайдено декілька записів, які свідчать про те, що на Близькому Сході його існування вже було відомо близько 1000 року.

Індекс

• 1 комбінаторні числа
• 2 Демонстрація
• 3 Приклади
  • 3.1 Ідентичність 1
  • 3.2 Ідентичність 2
• 4 Ще одна демонстрація
  • 4.1 Демонстрація індукцією
• 5 Цікавість
• 6 Посилання

Комбінаторні числа

Біономічна теорема математично говорить нам про наступне:

У цьому виразі a і b є дійсними числами, а n - натуральним числом.

Перш ніж давати демонстрацію, давайте побачимо деякі основні поняття, які є необхідними.

Комбінаторне число або комбінації n в k виражається наступним чином:

Ця форма виражає значення того, скільки підмножин з k елементами можна вибирати з набору з n елементів. Його алгебраїчне вираження задається:

Подивимося приклад: припустимо, що у нас є група з семи кульок, дві з яких червоні, а решта - сині.

Ми хочемо знати, скільки способів ми можемо замовити їх поспіль. Одним із способів може бути розміщення двох червоних в першій і другій позиціях, а решта кульок в інших позиціях.

Як і в попередньому випадку, ми могли б дати червоним кулькам першу і останню позицію відповідно і зайняти інші синіми кульками.

Тепер, ефективний спосіб підрахувати, скільки способів ми можемо замовити кулі поспіль, використовуючи комбінаторні числа. Ми можемо бачити кожну позицію як елемент наступного набору:

Далі необхідно лише вибрати підмножину з двох елементів, в яких кожен з цих елементів представляє положення, яке займуть червоні кулі. Ми можемо зробити цей вибір відповідно до відносин, наданих:

Таким чином, ми маємо 21 спосіб сортування таких кульок.

Загальна ідея цього прикладу буде дуже корисною для демонстрації біноміальної теореми. Давайте розглянемо конкретний випадок: якщо n = 4, то маємо (a + b)⁴, що є не більш ніж:

Коли ми розробляємо цей продукт, ми маємо суму термінів, отриманих шляхом множення елемента кожного з чотирьох факторів (a + b). Таким чином, ми будемо мати терміни, які матимуть форму:

Якщо ми хочемо отримати термін форми⁴, просто помножте наступним чином:

Зверніть увагу, що є тільки один спосіб отримати цей елемент; але що станеться, якщо ми зараз шукаємо термін форми²b²? Оскільки "a" і "b" є дійсними числами і, отже, діє комутативне право, ми маємо спосіб отримати цей термін, щоб множити з членами, як зазначено стрілками.

Виконання всіх цих операцій, як правило, кілька втомлює, але якщо ми бачимо термін "а" як комбінацію, де ми хочемо знати, як багато способів ми можемо вибрати два "а" з набору з чотирьох факторів, ми можемо використовувати ідею попереднього прикладу. Отже, ми маємо наступне:

Отже, ми знаємо, що в остаточному розвитку виразу (a + b)⁴ у нас буде рівно 6а²b². Використовуючи ту ж ідею для інших елементів, ви повинні:

Потім ми додаємо раніше отримані вирази і повинні:

Це офіційна демонстрація для загального випадку, в якому "n" - будь-яке натуральне число.

Демонстрація

Зауважте, що терміни, що залишаються при розробці (a + b)ⁿ мають форму до^kb^n-k, де k = 0,1, ..., n. Використовуючи ідею попереднього прикладу, у нас є спосіб вибору "k" змінних "a" з "n" факторів:

Вибираючи таким чином, ми автоматично вибираємо n-k змінні "b". З цього випливає, що:

Приклади

Враховуючи (a + b)⁵, Яким буде його розвиток?

За біноміальною теоремою треба:

Біноміальна теорема є дуже корисною, якщо ми маємо вираз, в якому ми хочемо знати, який коефіцієнт конкретного терміну без необхідності виконувати повний розвиток. Як приклад можна взяти наступне питання: який коефіцієнт x⁷і⁹ у розвитку (x + y)¹⁶?

За біноміальною теоремою ми маємо, що коефіцієнт:

Іншим прикладом може бути: який коефіцієнт x⁵і⁸ у розвитку (3x-7y)¹³?

Спочатку ми перепишемо вираз зручним способом; це:

Тоді, використовуючи біноміальну теорему, маємо, що шуканий коефіцієнт, коли маємо k = 5

Інший приклад використання цієї теореми полягає в демонстрації деяких загальних ідентичностей, таких як згадані нижче.

Ідентичність 1

Якщо "n" є натуральним числом, ми повинні:

Для демонстрації ми використовуємо біноміальну теорему, де і "а" і "б" приймають значення 1. Тоді маємо:

Таким чином ми довели першу ідентичність.

Ідентичність 2

Якщо "n" - натуральне число, то

За біноміальною теоремою треба:

Ще одна демонстрація

Ми можемо зробити іншу демонстрацію для біноміальної теореми, використовуючи індуктивний метод і паскальну ідентичність, яка говорить нам, що якщо "n" і "k" є натуральними числами, які відповідають n ≥ k, то:

Демонстрація індукцією

Спочатку подивимося, що індуктивна база виконана. Якщо n = 1, то потрібно:

Дійсно, ми бачимо, що воно виконується. Нехай n = j такий, що він виконується:

Хочемо бачити, що для n = j + 1 виконується те, що:

Отже, ми повинні:

За гіпотезою ми знаємо, що:

Потім, використовуючи розподільчу властивість:

Згодом, розробляючи кожне з підсумків, ми маємо:

Тепер, якщо ми згрупуємося зручно, ми повинні:

Використовуючи ідентифікацію паскаль, ми повинні:

Нарешті, зверніть увагу, що:

Тому бачимо, що біноміальна теорема виконується для всіх "n", що належать до натурального числа, і з цим випробування закінчується.

Цікавість

Комбінаторне число (nk) також називається біноміальним коефіцієнтом, тому що саме коефіцієнт з'являється при розробці біном (a + b).ⁿ.

Ісаак Ньютон дав узагальнення цієї теореми для випадку, коли експонент є дійсним числом; ця теорема відома як біноміальна теорема Ньютона.

Вже в античності цей результат був відомий для окремого випадку, коли n = 2. Цей випадок згадується в Елементи Евклідів.

Список літератури

1. Джонсонбау Річард. Дискретна математика PHH
2. Kenneth.H. Дискретна математика та її застосування. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Сеймур Ліпшуц Ph.D & Marc Lipson. Дискретна математика. McGRAW-HILL.
4. Ральф П. Грімальді. Дискретна та комбінаторна математика. Аддісон-Уеслі Ібероамерикана
5. Verde Star Luis ... Дискретна математика і комбінатори