Особливості, властивості, формули та площі рівностороннього трикутника

A рівносторонній трикутник це багатокутник з трьома сторонами, де всі рівні; тобто вони мають однакову міру. Для цієї характеристики було дано ім'я рівностороннього (рівних сторін).

Трикутники - це багатокутники, які вважаються найпростішими в геометрії, тому що вони утворюють три сторони, три кути і три вершини. У випадку рівностороннього трикутника, маючи рівні сторони, мається на увазі, що його три кути також будуть.

Індекс

• 1 Характеристика рівносторонніх трикутників
  • 1.1 Рівні сторони
  • 1.2 Компоненти
• 2 Властивості
  • 2.1 Внутрішні кути
  • 2.2 Зовнішні кути
  • 2.3 Сума сторін
  • 2.4 Конгруентні сторони
  • 2.5 Конгруентні кути
  • 2.6 Бісектриса, медіана і медіатра збігаються
  • 2.7 Бісектриса і висота збігаються
  • 2.8 Ортоцентр, барицентр, стимул і окружність збігаються
• 3 Як розрахувати периметр?
• 4 Як розрахувати висоту?
• 5 Як розрахувати сторони?
• 6 Як розрахувати площу?
• 7 Вправи
  • 7.1 Перша вправа
  • 7.2 Друга вправа
  • 7.3 Третя вправа
• 8 Посилання

Характеристика рівносторонніх трикутників

Рівні сторони

Рівносторонні трикутники - плоскі і закриті фігури, що складаються з трьох сегментів прямих ліній. Трикутники класифікуються за своїми характеристиками по відношенню до їх сторін і кутів; рівносторонній класифікувався за допомогою міри його сторін як параметр, оскільки вони цілком однакові, тобто вони збігаються.

Рівносторонній трикутник є окремим випадком рівнобедреного трикутника, оскільки дві його сторони є конгруентними. Ось чому всі рівносторонні трикутники також є рівнобедреними, але не всі рівнобедрені трикутники будуть рівносторонніми.

Таким чином, рівносторонні трикутники мають однакові властивості рівнобедреного трикутника.

Рівносторонні трикутники також можна класифікувати за амплітудою їхніх внутрішніх кутів як рівносторонній кутовий трикутник, який має три сторони і три внутрішніх кута з однаковою мірою. Кути будуть різкі, тобто вони будуть менше 90^o.

Компоненти

Трикутники взагалі мають кілька рядків і точок, які його складають. Вони використовуються для обчислення площі, сторін, кутів, медіани, бісектриси, перпендикулярності та висоти.

• Медіана: це лінія, яка виходить з середини однієї сторони і досягає протилежної вершини. Три медіани збігаються в точці, що називається центроїдом або центроїдом.
• Бісектриса: - це промінь, що розділяє кут вершин на два кути однакового розміру, тому він відомий як вісь симетрії. Рівносторонній трикутник має три осі симетрії.

У рівносторонньому трикутнику бісектриса тягнеться від вершини кута до його протилежної сторони, розрізаючи її на своїй середній точці. Вони збігаються в точці, що називається стимулом.

• Посередник: це відрізок, перпендикулярний стороні трикутника, що бере початок у середині цього. У трикутнику є три медіації, які збігаються в точці, що називається циркунцентро.
• Висота: це лінія, що йде від вершини до сторони, яка є протилежною, а також ця лінія перпендикулярна цій стороні. Всі трикутники мають три висоти, які збігаються в точці, що називається ортоцентром.

Властивості

Головною властивістю рівносторонніх трикутників є те, що вони завжди будуть рівнобедреними трикутниками, оскільки рівнобедрість формується двома конгруентними сторонами, а рівносторонні - трьома.

Таким чином, рівносторонні трикутники успадкували всі властивості рівнобедреного трикутника:

Внутрішні кути

Сума внутрішніх кутів завжди дорівнює 180^o, і оскільки всі його кути є конгруентними, то кожен з них буде вимірювати 60^o.

Зовнішні кути

Сума зовнішніх кутів завжди буде дорівнює 360^o, тому кожен зовнішній кут буде вимірювати 120^o. Це пояснюється тим, що внутрішні та зовнішні кути є додатковими, тобто додавання їх завжди буде дорівнювати 180^o.

Сума сторін

Сума заходів двох сторін повинна завжди бути більшою, ніж міра третьої сторони, тобто a + b> c, де a, b і c є вимірами кожної сторони..

Конгруентні сторони

Рівносторонні трикутники мають три сторони з однаковою мірою або довжиною; тобто вони збігаються. Тому у попередньому пункті ми маємо a = b = c.

Конгруентні кути

Рівносторонні трикутники також відомі як рівнокутні трикутники, оскільки три їх внутрішні кути збігаються один з одним. Це відбувається тому, що всі його сторони також мають однакову міру.

Бісектриса, медіана і медіатра збігаються

Бісектриса ділить бік трикутника на дві частини. У рівносторонніх трикутниках ця сторона буде розділена на дві рівно рівних частини, тобто трикутник буде розділений на два конгруентних правильних трикутника.

Таким чином, бісектриса, взята з будь-якого кута рівностороннього трикутника, збігається з медіаною і бісектрисою протилежної сторони цього кута.

Приклад:

Наступний малюнок показує трикутник ABC з серединою D, яка ділить одну зі сторін на два сегменти AD і BD.

Коли ви малюєте лінію від точки D до протилежної вершини, за визначенням ви отримуєте серединний CD, який є відносно вершини C і стороною AB.

Оскільки сегмент CD розділяє трикутник ABC на два трикутники, що дорівнюють CDB і CDA, це означає, що у нас буде випадок конгруентності: бічний, кут, бічний і тому CD буде також бісектрисою BCD..

При нанесенні сегмента CD ділять кут вершини на два рівні кути 30^o, кут вершини A продовжує вимірювати 60^o а прямий CD - кут 90^o по відношенню до середини D.

Сегмент CD формує кути, які мають однакові вимірювання для трикутників ADC і BDC, тобто вони є додатковими таким чином, що вимірювання кожного з них буде:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^o

2 _* Med. (ADC) = 180^o

Med. (ADC) = 180^o . 2

Med. (ADC) = 90^o.

Таким чином, ви маєте, що сегмент CD також є бісектрисою з боку AB.

Бісектриса і висота збігаються

Коли ви малюєте бісектриса від вершини кута до середини протилежної сторони, вона ділить рівносторонній трикутник на два конгруентних трикутника.

Таким чином формується кут 90 °^o (прямий). Це вказує на те, що цей відрізок лінії повністю перпендикулярний цій стороні, і за визначенням, що лінія буде висотою.

Таким чином, бісектриса будь-якого кута рівностороннього трикутника збігається з відносною висотою на протилежній стороні цього кута.

Ортоцентр, барицентр, стимул і окружність збігаються

Оскільки висота, медіана, бісектриса і бісектриса представлені одночасно одним і тим же сегментом, то в рівносторонньому трикутнику точки зустрічі цих сегментів - ортоцентр, барицентр, стимул і окружність - будуть в одній точці:

Як розрахувати периметр?

Периметр багатокутника обчислюється за сумою сторін. Оскільки в цьому випадку рівносторонній трикутник має всі свої сторони з однаковою мірою, його периметр обчислюється за такою формулою:

P = 3 _* сторони.

Як розрахувати висоту?

Оскільки висота є лінією, перпендикулярною до бази, вона ділить її на дві рівні частини, простягаючись до протилежної вершини. При цьому утворюються два рівних правильних трикутника.

Висота (h) являє собою протилежну сторону (a), половина бічного AC до сусідньої сторони (b) і сторона BC являє гіпотенузу (c) \ t.

Використовуючи теорему Піфагора, можна визначити значення висоти:

a² + b²= c²

Де:

a² = висота (h).

b² = сторона b / 2.

c² = сторона a.

Підставивши ці значення в теорему Піфагора, і очистивши висоту, ми маємо:

h² + ( л / 2)² = l²

h² +  l²/ 4 = l²

h² = l²  -  l²/ 4

h² = (4_*l² -  l²) / 4

h² =  3_*l²/4

√h² = √ (3_*l²/4)

Якщо відомий кут, утворений конгруентними сторонами, висоту (представлену ногою) можна розрахувати, застосовуючи тригонометричні співвідношення.

Ноги називаються протилежними або суміжними залежно від кута, що приймається за еталон.

Наприклад, у попередньому малюнку катет h буде протилежним для кута C, але примикає до кута B:

Таким чином, висоту можна обчислити за допомогою:

Як розрахувати сторони?

Відомі випадки, коли вимірювання сторін трикутника невідомі, але їх висота і кути, що утворюються у вершинах.

Для визначення площі в цих випадках необхідно застосовувати тригонометричні співвідношення.

Знаючи кут однієї з його вершин, ноги ідентифікуються і використовується відповідний тригонометричний коефіцієнт:

Таким чином, опора AB, буде протилежна для кута C, але прилягає до кута A. В залежності від сторони або ноги, що відповідає висоті, інша сторона очищена, щоб отримати значення цього, знаючи, що в рівносторонньому трикутнику три \ t сторони завжди матимуть однаковий розмір.

Як розрахувати площу?

Площа трикутників завжди обчислюється за тією ж формулою, помножуючи базу на висоту і ділячи на дві:

Площа = (b _* h). 2

Знаючи, що висота задається за формулою:

Вправи

Перша вправа

Сторони рівностороннього трикутника ABC вимірюють по 20 см кожен. Розрахуйте висоту та площу цього багатокутника.

Рішення

Щоб визначити площу цього рівностороннього трикутника, необхідно розрахувати висоту, знаючи, що під час її малювання вона розбиває трикутник на два рівних правильних трикутника.

Таким чином, теорема Піфагора може бути використана для її пошуку:

a² + b²= c²

Де:

a = 20/2 = 10 см.

b = висота.

c = 20 см.

Дані в теоремі замінюються:

10² + b² = 20²

100 см + b² = 400 см

b² = (400 - 100) см

b² = 300см

b = 300 см

b = 17,32 см.

Тобто висота трикутника дорівнює 17,32см. Тепер можна обчислити площу даного трикутника, підставивши у формулу:

Площа = (b _* h). 2

Площа = (20 см.) _* 17,32 см). 2

Площа = 346,40 см² . 2

Площа = 173,20 см².

Інший простіший спосіб вирішення вправи полягає в тому, щоб замінити дані в прямій формулі області, де значення висоти також неявно: \ t

Друга вправа

На землі, яка має форму рівностороннього трикутника, будуть висаджені квіти. Якщо периметр цієї землі дорівнює 450 м, розрахуйте кількість квадратних метрів, зайнятих квітами.

Рішення

Знаючи, що периметр трикутника відповідає сумі трьох його сторін і як місцевість має форму рівностороннього трикутника, три сторони цього трикутника матимуть однакову міру або довжину:

P = сторона + сторона + сторона = 3 _* l

3 _* l = 450 м.

l = 450 м ÷ 3

l = 150 м.

Тепер потрібно лише обчислити висоту цього трикутника.

Висота розділяє трикутник на два конгруентних правильних трикутника, де одна з ніжок представляє висоту, а іншу половину бази. За теоремою Піфагора можна визначити висоту:

a² + b²= c²

Де:

a = 150 м = 2 = 75 м.

c = 150 м.

b = висота

Дані в теоремі замінюються:

(75 м)²+ b² = (150 м)²

5625 м + b² = 22,500 м

b² = 22,500 м - 5,625 м

b² = 16,875 м

b = 16 875 м

b = 129,90 м.

Так що область, яка займе квіти, буде:

Площа = b * h ÷ 2

Площа = (150 м _* 129,9 м). 2

Площа = (19,485 м.)²) ÷ 2

Площа = 9 742,5 м²

Третя вправа

Рівносторонній трикутник ABC ділиться відрізком лінії, що йде від вершини C до середини D, розташованої на протилежній стороні (AB). Цей сегмент становить 62 метри. Розрахуйте площу і периметр цього рівностороннього трикутника.

Рішення

Знаючи, що рівносторонній трикутник ділиться відрізком лінії, що відповідає висоті, утворюючи таким чином два конгруентних правильних трикутника, це, у свою чергу, також розділяє кут вершини C на два кути з тим же виміром, 30^o кожен.

Висота утворює кут 90^o по відношенню до відрізка AB, а кут вершини A потім буде вимірюватися 60^o.

Потім використовують в якості опорного кута 30^o, висота CD встановлюється як нога, що прилягає до кута і BC як гіпотенуза.

З цих даних можна визначити значення однієї з сторін трикутника, використовуючи тригонометричні співвідношення:

Оскільки в рівносторонньому трикутнику всі сторони мають точно однакову міру або довжину, це означає, що кожна сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 71,6 метра. Знаючи це, можна визначити вашу область:

Площа = b * h ÷ 2

Площа = (71,6 м _* 62 м). 2

Площа = 4438,6 м² . 2

Площа = 2219,3 м²

Периметр задається сумою трьох сторін:

P = сторона + сторона + сторона = 3 _* l

P = 3_*l

P = 3 _* 71,6 м

Р = 214,8 мкм.

Список літератури

1. Альваро Рендон, А. Р. (2004). Технічне креслення: діяльність ноутбука.
2. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра і тригонометрія з аналітичною геометрією. Освіта Пірсона.
3. Baldor, A. (1941). Алгебра Гавана: Культура.
4. BARBOSA, J. L. (2006). Плоска евклідова геометрія. SBM. Ріо-де-Жанейро, .
5. Коксфорд, А. (1971). Підхід до трансформації геометрії. США: Брати Лайдлоу.
6. Евклід Р. П. (1886). Елементи геометрії Евкліда.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Геометрія і тригонометрія.
8. Леон Фернандес, Г. С. (2007). Інтегрована геометрія Столичний технологічний інститут.
9. Sullivan, J. (2006). Алгебра і тригонометрія Освіта Пірсона.